Умов Н А - ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

УМОВ Николай Алексеевич
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫВОДОВ

§ 14. Найденные нами выводы при некоторых условиях могут быть приложены к случаю, когда две изотропные среды различной плотности и упругости проникают друг в друга.

Первое необходимое условие заключается в том, что одна среда должна обладать весьма малой плотностью и чрезвычайно большой упругостью сравнительно с другою. При такой постановке задачи легко Доказать¹), что силы упругости среды более плотной,

^{J) Theorie nouvelle des onrles lu mneuses, par M. Boussi-nesq. Journal de Liouville, 1868.
развиваемые колебаниями весьма малой амплитуды среды менее плотной, слишком ничтожны, чтобы оказывать заметное действие.
Второе условие заключается в том, что взаимодействие молекул одной среды на молекулы другой преимущественно заключается в трении смежных молекул, различающихся своими скоростями. Действие этого трения настолько превосходит действие остальных взаимных сил между молекулами одной и друюй среды, что последнее может, быть опущено. Если означим через г/,, и ,; wi перемещения молекул более плотной среды по осям прямоугольных координат х, у, z, то слагающие по осям силы трения, как доказывает Буссинеск, . <ЭХ ' d'h\ д*л>_г

будут — Pi”^/, — Р1“>доГ> —Р1^юар> ^ГД° Pl ^6СТЬ}

плотность среды более плотной и ш—элемент объёма.

Буссинеск называет изотропной среду, для которой уравнения движения не изменяются от вращения осей прямоугольных координат каким бы то ни было образом около их начала.

Симметричною названа среда, для которой уравнения движения не изменяются при перемене направления одной из осей координат на противоположное.

При этих терминах общепринятое название среды изотропной должно быть заменено названием среды изотропно-симметричной.

Означая через А, В, С, D постоянные коэффициенты, Буссинеск находит для среды изотропной, пренебрегая членами высших порядков:

Здесь и, v, w суть перемещения, по осям молекул среды менее плотной и H — кубическое расширение. Для среды изотропно-симметричной постоянное D = 0 .

Предполагая, что среда менее плотная, проникающая среду более плотную, весьма мало отличается по своему-строению от изотропно-симметричного, которое бы она имела, будучи совершенно свободной, Буссинеск прилагает к ее движению уравнения, данные Ламе для среды постоянной упругости:

в которых Х₀, Y₀, Z₀ должны быть заменены величинами

Развитие уравнений (2) и (1) приводит Буссинеска к весьма простому объяснению явлений светорассеяния, вращательной поляризации и прочего, что побудило его отождествить среду весьма малой плотности и весьма большой упругости с эфиром, сродужо конечной плотности и конечной упру-юстп— с весомыми телами, которые им проникаются. Означая через т время одного колебания, Буссинеск на.\'одпт для квадрата скорости распространения поперечных колебаний выражение:

что совершенно согласно с приближённой формулой, данной опытом.

Согласие изложенной теории с явлениями света побуждает исследовать вопрос о значении найденных мною выводов в применении к только что изложенной теории световых явлений.

G этою целью мы займёмся преобразованием уравнений (1) и (2) в криволинейные координаты.

Пусть [i, р_1; р₂ означают параметры трёх ортогональных поверхностей,-их дифференциальные параметры первого порядка. Означим,

далее, через R, R_lt R._z перемещения по нормалям к поверхностям р, р_1; (>₂ и пусть А, В, Г имеют прежнее значение; F, F^ F₂ представляют слагающие по нормалям к р, р_х, р_г сил, девствующих на молекулу, и о, о, —плотности эфира u весомого тела. Мы имеем¹):

^{х) Lame, Legons sur les coordonaees curvilignes, стр. 259 и след.

Кроме того,

Колебания молекулы эфира при высказанных выше предположениях представятся уравнениями, данными Ламе для среды постоянной упругости, которые в криволинейных координатах будут:

Здесь величины F, Р_г, F₂ определяются с помощью уравнений (3), в которых Х₀, Y₀, Z₀ должны быть заменены через — г^ — J , — g₁-— i , __gi -—£ , а эти последние выражаются через и, v, w с помощью уравнений (1).

Определим величину F. Так как p, [i_b ;;₂, /г, Л], h_z

не зависят от времени, то вместо Х₀, Y₀, Z₀ мы можем вставить величины о^и^ Ь^^ b^Wi и взять от конечного результата вторую производную по времени. Так как

то равенства (1) будут:

Подставляя эти величины вместо Х₀, Y_g, Z₀ в выражение для F с помощью уравнений (4), (5), (б), (7), (8), (9) и замечая, что при различных р_г, p у

где g есть прямоугольная координата, и

найдем следующие величины:

и предполагая, что каждый член R удовлетворяет уравнениям (10), мы найдём также

причем /' ", е_г, Р_я получаются из F, F_lt F₂ заменой

да
а выражениях (12) знака — коэффицие
Подставляя и", и", Ä,, F , F_г, F.. в уравнения (10), найдём:

Если положим

Для среды изотропно-симметрической 5 = 0 и уравнения (18) совершенно совпадают с темп, которые были положены в основу настоящего исследования. Итак, все найденные выводы одинаково применимы к явлениям света в телах однородных и притом в тех пределах приближения, которые имеют место для теории Бусси-неска.
Квадрат скорости поперечных колебаний будет:

Следовательно, каждый из членов разложений (13) будет представлять колебание, распространяющееся с особой, ему только принадлежащей скоростью.

назад
в оглавление}