УМОВ Николай Алексеевич
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)

III. КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНЫЕ

§ 13. Обращаясь к основным дифференциальным уравнениям колебаний в § 7, мы заметим, что когда

умножим их на — = к,2, они будут содержать члены, из которых одни имеют коэффициентом квадрат скорости и поперечных колебаний, другие-квадрат скорости продольных колебаний.

Первыечлены в случае колебаний продольных должны исчезнуть из уравнений, и мы получаем первую группу:

Так как поверхность p по нашему выбору есть поверхность волны, то в уравнениях § 7 мы должны удержать одно колебание R и приравнять нулю колебания /?! и R.2, совершающиеся в плоскости, касательной к волне. Вследствие этого находим, полагая //=1:

Так как А = 0, то уравнения (1) примут вид:

Умножая первое из уравнений (2) на //i//2, дифференцируя по p и обращая внимание на уравнение (4), находим:

Но но уравнениям (2) В не зависит ни от рх, ни от [-,. Следовательно, означая через &F частную производную от функции F по одной из переменных ^, р.2, мы получаем пз уравнения (7):

Подставляя в ото выражение величавы II lt Н2, найденные в § 3, приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях ,., мы находим следующие условия, которым должна удовлетворять волновая

Но мы знаем, что подобные соотношения имеют место только для сферы, круглого цилиндра и плоскости. Отсюда заключаем, что

одни изотермические волновые поверхности могут распространять колебания продольные.

Итак, если поверхность сотрясения или начальная волна не принадлежат к поверхностям изотермических волн, то вблизи их колебания происходят смешанные; но на значительных расстояниях волна приближается к виду одной из изотермических волн, и в явлении обнаруживаются колебания продольные. Это заключение было выведено иным путём Пуассоном.

Нам остается объинтегрировать приведенные дифференциальные уравнения для сферы.

Для сферы в координатах, уже нами употреблённых, мы имеем:

Подставляя величины В и Т в уравнение (5), получаем :

где суммирование совершается но индексу к.

Подставляя величину 0 в последнее из уравнений (10), интегрируя u обращая внимание на уравнение (11), находим:

Последний член этого выражения должен равняться нулю, ибо при p =оо будет /2 = 0. Второй член второй части выражения R отпадает для (> различных, и квадрат амплитуды, т. е. напряжение звука, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Между тем квадрат амплитуды кубического расширения следует тому жо закону для всякого р. Все эти выводы были получены Пуассоном иным путём.

 
назад вперед