Веб-мастер приносит свои извинения за низкое качество вычитки текста после
OCR-сканированияI. Принцип сохранения живой силы
Мы исходим из допущения, что невозможно при существовании любой произвольной комбинации тел природы получать непрерывно из ничего движущую силу. Из этого положения Карно и Клапейрон
2) уже вывели теоретически ряд частью известных, частью еще экспериментально не доказанных законов относительно удельной и скрытой теплоты различных тел природы. Задачей настоящего сочинения является проведение указанного принципа совершенно тем же способом через все отделы физики отчасти для того, чтобы Доказать применимость его во всех тех случаях, где Законы явлений Уже достаточно изучены, частью, чтобы с помощью этого принципа, опираясь на многоразличные аналогии более известных явлений, сделать дальнейшие заключения о законах еще не вполне изученных явлений, и дать таким образом в руки эксперимента путеводную нить.Указанный принцип может быть формулирован следующим образом. Вообразим себе систему тел природы, которые стоят друг к другу в известных пространственных взаимоотношениях и начинают двигаться под действием своих взаимных сил до тех пор, пока они не придут в определенное другое положение. Мы можем приобретенные ими скорости рассматривать, как результат определенной механической работы и можем выразить их через работу. Если бы мы захотели, чтобы те же силы пришли в действие во второй раз, совершая еще раз ту же работу, то мы должны бы были перевести тела каким бы то ни было образом в первоначальные условия, применяя другие силы, которыми мы можем располагать. Мы на это затратим определенное количество работы приложенных сил. В этом случае наш принцип требует, чтобы количество работы, которое получается, когда тела системы переходят из начального положения во второе, и количество работы, которое затрачивается, когда они переходят из второго положения в первое, всегда было одно и то же, каков бы ни был способ перехода, путь перехода или его скорость. Так как если бы величина работы была на каком-нибудь одном пути больше, чем на другом, то мы могли бы пользоваться первым путем для получения работы, а вторым для обратного перемещения тел, при котором мы могли бы затратить только часть полученной работы, и мы получили бы неопределенно большое количество механической силы, мы построили бы вечный двигатель (perpetuum mobile), который не только поддерживал бы свое собственное движение, но и был бы в состоянии давать силу для совершения внешней работы.
Если мы будем отыскивать математическое выражение этого принципа, то мы его найдем в известном законе сохранения живой силы. Количество работы, которое получается или затрачивается, может, как известно, быть выражено, как работа поднятия на определенную высоту
h груза т; работа равна mgh, где g есть ускорение силы тяжести. Чтобы подняться свободно на высоту h, тело должно обладать начальною скоростью v = (2gh)1/2; эту же скорость тело получает при обратном падении на землю. Таким образом 1/2mv2 = mgh, следовательно, половина произведения тv2, которое называется в механике "количеством живой силы тела m", может быть мерою величины работы. Для лучшего согласования с употребительным в настоящее время способом измерений величины силы, я предлагаю величину 1/2mv2 обозначать, как количество живой силы, благодаря чему она будет тождественна по величине с величиной затраченной работы. Для приведенного выше приложения понятия живой силы, ограниченного только вышеуказанным принципом, это изменение несущественно, в то время как в дальнейшем мы от этого получим существенные выгоды. Принцип сохранения живой силы гласит: если любое число подвижных материальных точек движется только под влиянием таких сил, которые зависят от взаимодействий точек друг на друга, или которые направлены к неподвижным центрам, то сумма живых сил всех взятых вместе точек останется одна и та же во все моменты времени, в которые все точки получают те же самые относительные положения друг по отношению к другу и по отношению к существующим неподвижным центрам, каковы бы ни были их траектории и скорости в промежутках между соответствующими моментами. Представим себе, что" живые силы затрачиваются для того, чтобы поднять части системы, или эквивалентные им массы, на определенную высоту; тогда из только что доказанного следует, что представляющиеся при этом величины работы при указанных условиях должны быть равны. Этот принцип, однако, выполняется не для всех возможных видов сил; в механике этот принцип обыкновенно связан с принципом возможных перемещений и этот последний может быть доказан только для материальных точек с притягательными или отталкивающими силами. Мы сначала покажем здесь, что принцип сохранения живой силы остается справедливым сам по себе там, где действующие силы (которые предполагаются разлагаемыми на силы, исходящие из точек) могут быть разделены на силы, исходящие из материальных точек, действующих по направлению прямой, их соединяющей, и имеющие величину, зависящую только от расстояния; в механике подобные силы обыкновенно называются центральными. Отсюда следует и обратно, что при всех действиях тел природы Друг на друга, когда вообще указанный принцип может быть применен даже к самым малым частям этих тел, простейшие основные силы должны быть рассматриваемыми как центральные силы.Рассмотрим сначала материальную точку с массой т, которая движется под влиянием сил, исходящих из многих тел, связанных в одну неизменяемую систему
A; механика нам указывает на возможность определить в каждый отдельный момент времени положение и скорость этой точки. Мы будем рассматривать время t, как независимую переменную, и выразим в зависимости от него координаты х, у, г точки т, по отношению к системе координат, прочно связанной с системой А, далее-тангенциальную скорость q, и-параллельные осям координат компоненты
и, наконец,-компоненты действующих сил
Наш принцип требует, чтобы
1/2mq2, и, следовательно, qг было бы постоянно одно и то же, если т имеет то же положение по отношению к А и, следовательно, чтобы q, будучи зависимым от t, являлось функцией только координат х, у, z. то есть:
Так как
Если подставить из предыдущих выражений
dx/dt вместо и и X dt/m вместо du, точно также подставить вместо v и w аналогичные величины, то мы получим
Так как уравнения 1 и 2 должны существовать при любом одновременном значении
dx, dy, dz, то должны быть порознь равны:
Если
q2 есть функция только х, у, z, то отсюда следует, что X, У, Z являются также только функциям координат, то - есть направление и 1елпчина действующей силы являются функциями взаимного положения т и А.Если мы представим себе вместо системы А отдельную материальную точку а, то на основании вышедпказанного следует, что направление и величина силы, направленной от а к т, определятся только относительным положением т по отношению к а. Так как положение т по отношению к одной точке а определяется расстоянием та, то в этом случае закон должен быть изменен так, что
направление и величина силы должны быть функциями этого расстояния. Если мы примем, что координаты отнесены к какой-нибудь, произвольной системе осей, начало которой лежит в а, то должно быть
если только при этом:
то есть когда
Если ввести это значение в уравнение 3, то получается:
для каждого любого значения
dx и dy таким образом должны в отдельности быть равны
т.е. результирующая сила должна быть направлена к началу координат, к воздействующей точке а.
Следовательно, в системах, которые подчиняются вообще закону сохранения живой силы, простые силы материальных точек суть силы центральные.