Attenenti alia

GALILEO GALILEI LINСEO,

Filosofoe Matematico primario del Sereniffimo Grand Ducadi Toscana.

Appreslbe Ji Elfevirii. м. d. c. xxxviti.

День Первый. Продолжение. Галилео ГАЛИЛЕЙ - Galileo GALILEI. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА КАСАЮЩИЕСЯ ДВУХ НОВЫХ ОТРАСЛЕЙ НАУКИ, относящихся К механике и Местному Движению

С и м п л. Я прекрасно знаю, что квадратами являются такие числа, которые получаются от умножения какого-либо числа на самого себя; таким образом числа четыре, десять и т. д. суть квадраты, так как они получаются от умножения двух и соответственно трех па самих себя.

С а л ь в. Великолепно. Вы знаете, конечно, и то, что как произведения чисел называются квадратами, так и образующие их, т. е. перемножаемые числа носят название сторон или корней; другие числа

не являющиеся произведением двух равных множителей, не суть квадраты. Теперь, если я скажу, что количество всех чисел вместе—квадратов и не квадратов—больше шежели одних только квадратов, то таксе утверждение будет правильным; не так ли?

С и м п л. Ничего не могу возразить против этого.

С а л ь в. Если я теперь спрошу вас, каково число квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же числом, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень свой квадрат; ни один квадрат не может иметь
более одного корня и ни один корень более одного квадрата.

С и м п л. Совершенно верно.

С а л ь в. Но если я спрошу, далее, каково число корней, то вы не станете отрицать, что оно равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-либо квадрата; установив это, приходится сказать, что число квадратов равняется общему количеству всех чисел, так как именно таково количество корней, каковыми являются все числа. А между тем, ранее мы сказали, что общее количество всех чисел превышает число квадратов, так как большая часть их не является квадратами. Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из чисел до ста квадратами являются десять, т. е.

одна десятая часть; до десяти тысяч квадратами будет лишь одна сотая часть; до одного миллиона—только одна тысячная часть. А в отношении числа бесконечно большого, если бы только мы могли объять его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел.

Сагр. Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?

С а л ь в. Я не вижу возможности никакого другого решения, как признать, что бесконечно количество чисел вообще, бесконечно число квадратов, бесконечно и число корней. Нельзя сказать, что число квадратов меньше количества всех чисел, а последнее больше; в конечном выводе—свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и применимы только к конечным количествам. Поэтому, когда синьор Симп-личио предлагает мне неравные линии и спрашивает меня, как может быть, чтобы в большей из них не содержалось большего количества точек, чем в меньшей, то я отвечаю ему, что их там не больше, fee меньше и не одинаковое количество, но бесконечное множество в каждой. В самом деле, если бы я ответил, что число точек одной линии равняется числу квадратных чисел, в другой—большей—их содержится столько, сколько существует чисел вообще, а в какой-нибудь меньшей столько, сколько существует чисел, представляющих кубы, то был ли бы удовлетворительным мой ответ, приписывающий линиям разное число точек, являющееся в то же самое время в каждом случае бесконечным? Вот, что я могу сказать по поводу первого затруднения.

С а г р. Обождите немного," пожалуйста, и дайте мне в добавление к сказанному поделиться одной мыслью, которая сейчас пришла мне в голову. На основании изложенного, мне кажется, нельзя утверждать не только того, что одна бесконечная величина больше другой бесконечной, но даже и того, что она больше величины конечной. В самом деле, если бы, например, бесконечно большая . величина была больше миллиона, не следовало ли бы из этого, что, переходя за миллион к последовательно большим и большим числам, мы приближаемся к бесконечности? На самом деле этого нет; напротив, может , случиться, что, переходя к большим числам, мы удаляемся от бесконечности; так, чем большие числа мы берем, тем меньшее количество квадратных чисел встречаем среди них; при бесконечном же числе количество квадратов не может быть меньше общего количества чисел, как это только что было доказано. Таким образом, переходя к большим числам, мы в данном случае удаляемся от бесконечности.

С а л ь в. И таким образом из ваших остроумных соображений необходимо вытекает, что понятия „больший", „меньший", „равный" не имеют места (не только между бесконечно большими величинами, но и между бесконечно большими величинами с одной стороны и конечными величинами—с другой.

Перехожу теперь к другому замечанию, а именно: так как линия, как и всякая непрерывная величина, может быть разделена на части, также далее делимые, то нельзя избежать заключения, что линия состоит из бесконечного множества неделимых, потому что, предполагая возможность бесконечно продолжать деление, мы получаем и бесконечное множество частей; если бы этого не было, то деление могло бы притти к концу; признавая же число частей бесконечным, нельзя не притти к заключению, что они не имеют конечной величины, так как бесконечно большое число конечных величин дает величину бесконечно большую; таким образом мы имеем непрерывную величину, составленную из бесконечного множества бесконечно малых неделимых.

С и м п л. Но если мы можем постоянно производить деление на части конечные, то какая надобность нам вводить здесь бесконечное?

С а л ь в. Самая возможность постоянного разделения на части приводит к необходимости признания совокупности бесконечного числа бесконечно малых. Чтобы положить конец спору, ответьте мне определенно: являются ли, по вашему мнению, части непрерывного целого конечными или бесконечными?

С и м п л. Я отвечу вам, что они и бесконечны и конечны: бесконечны—в потенции, конечны—в действии; бесконечны—в потенции, т. е. ранее, чем произошло разделение, конечны—в действии, т. е. после того, как произошло разделение; в самом деле, нельзя себе представить частей самих по себе, пока они не отделены или, по крайней мере, не обозначены; в противном случае они будут, так сказать, лишь потенциальными.

С а л ь в. Таким образом про линию, длиною, например, в двадцать локтей, нельзя, по вашему мнению, сказать, что она содержит двадцать линий по одному локтю каждая до тех пор, пока она не будет разделена на двадцать равных частей; вперед можно лишь сказать, что она содержит их в потенции. Пусть будет по-вашему; но скажите мне, производя действительное деление на части, увеличиваете ли вы первоначальную линию или уменьшаете ее, или же оставляете величину ее без изменения?

С и м п л. Не увеличиваем и не уменьшаем.

С а л ь в. То же самое думаю и я. Таким образом части непрерывного целого, будь они в действии или потенции, не увеличивают и не уменьшают его величины; но ясное дело, что конечные части, действительно содержащиеся в целом, должны сделать его бесконечно большим, если число их бесконечно; по-ртому конечные части, бесчисленные хотя бы только потенциально, могут содержаться Лишь в 'бесконечно большой величине; таким образом в конечной величине не может содержаться бесчисленного множества частей ни в действии, ни в потенции.

Сагр. Тогда каким же образом может быть верным, что непрерывная величина может быть делима без конца?

С а л ь в. Различие между находящимся в действии и потенции делает легко возможным то, что при другой точке зрения было бы невозможным. Я хочу сделать попытку окончательно выяснить этот вопрос следующим образом: на предложенный мною выше вопрос—конечны или бесконечны части непрерывного ограниченного целого—я отвечу совершенно иначе, чем синьор Симпличио, а именно, что они не конечны и не бесконечны.

С и м п л. Подобного ответа я дать, конечно, никогда бы не мог, так как мне неизвестно существование понятия чего-то среднего, лежащего между „конечным" и „бесконечным"; поэтому утверждение ваше, нто какая-либо вещь не конечна и не бесконечна, представляется мне ложным и неправильным.

С а л ь в. А между тем, это так. Если мы говорим о величине не непрерывной, то между конечным и бесконечным находится еще и третье — среднее, соответствующее любому данному числу; подобным же образом на предложенный выше вопрос, конечны или бесконечны части непрерывного целого, самым правильным было бы ответить: они не конечны и не бесконечны численно, но соответствуют любому данному числу; для этого необходимо только, чтобы они не были заключены в пределы ограниченного числа, так как в этом случае они не могли бы соответствовать большему числу; но вовсе нет необходимости, чтобы они были бесконечными, так как никакое данное число не может быть бесконечно большим. Таким образом по желанию предлагающего вопрос мы можем приписать данной им линии сто конечных частей, или тысячу, или сто тысяч, соответственно любому желаемому числу. Но деление на бесконечное число частей невозможно. Я готов согласиться с философами, что непрерывное целое содержит столько частей, сколько им будет угодно, и содержит рти части по их желанию действительно или потенциально. Но к этому я добавляю: совершенно так же как линия в десять сажен содержит в себе одновременно десять линий по одной сажени каждая, сорок линий по локтю каждая, восемьдесят—по полулоктю и т. д., она содержит и бесконечное множество точек, которые вы можете назвать действительными или потенциальными, как вам будет угодно; в этом вопросе я, синьор Симпличио, подчиняюсь вашему суждению и решению.

Симпл. Не могу не отозваться с похвалой о вашей речи, но очень боюсь, что одновременное признание содержания точек наравне с конечными частями не соответствует точности, и что вам не так легко будет разделить предложенную линию на бесконечное множество точек, как тем философам на десять сажен или десять локтей. Наконец, я считаю совершенно невозможным осуществить на деле такое раздробление, так что оно останется мыслимым лишь в потенции и никогда не станет действительным.

С а л ь в. Если какая-нибудь вещь не легка и может быть произведена лишь с большим трудом, напряжением и затратою продолжительного времени, то она не делается от этого невозможною; думаю, что и вам не очень-то легко будет произвести разделение линии на тысячу частей или хотя бы на 937, либо какое-нибудь другое большое первоначальное число частей. Но если я сведу это деление, признаваемое вами вовсе невозможным, к такому же короткому процессу, как тот, который требуется другим для разделения линии на сорок частей, то будет ли этого для вас достаточным, чтобы уделить ему место в нашей беседе?

С и м п л. Мне нравится ваша манера вести разговор, допуская время от времени шутку. На ваш вопрос могу ответить, что легкость деления на точки была бы для меня более, чем достаточной, если бы она не была затруднительнее деления даже на 1000 частей.

С а л ь в. Теперь я вам скажу нечто такое, что, вероятно, покажется вам удивительным. Тот, кто, желая разложить линию на бесконечное множество ее точек, предполагает достигнуть своей цели тем же путем, каким пользуются другие для разделения линии на сорок, шестьдесят или сто частей, т. е. сперва делит ее пополам, затем на четыре части и так далее, и надеется получить, таким образом, бесчисленное множество точек, грубо ошибается, потому что такой процесс постепенного деления конечных величин необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно. Я полагаю даже, что, продолжая деление и умножая число частей в предположении приблизиться к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее, и вот по каким основаниям. Незадолго перед тем мы признали в нашей беседе, что в бесконечном ряде чисел должно иметься столько же квадратов и кубов, сколько вообще чисел, так как число квадратов и кубов равняется числу корней, а последними могут быть все числа вообще. Мы видели далее, что чем к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще реже кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение, возвращаясь обратно (ибо избранный путь удаляет нас от искомого предела), что если какое-либо число должно являться бесконечностью, то ртим числом должна быть единица: в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число', поскольку она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел вообще.

С и м п л. Я не совсем постигаю, как следует понимать сказанное вами.

С а л ь в. Сказанное не заключает в себе ничего сомнительного, так как единица является и квадратом, и кубом, и квадратом квадрата и т. д.; точно так же квадраты и кубы и т. д. не имеют никакой существенной особенности, которая не принадлежала бы и единице, как, например, свойство двух квадратных чисел постоянно иметь между собою среднее пропорциональное. Возьмите любое квадратное число, с одной стороны, и единицу — с другой, и вы всегда найдете среднее пропорциональное число. Если возьмем два квадратных числа 9 и 4, то средним пропорциональным между 9 и единицей будет 3; средним пропорциональным между 4 и 1 будет 2; в то же время среднее пропорциональное квадратов 9 и 4 равняется 6. Особенностью кубов является непременное нахождение между ними двух средних пропорциональных чисел. Возьмем 8 и 27: средние пропорциональные между ними равны 12 и 18; средние пропорциональные между единицей и 8 равны 2 и 4; а между единицею и 27 равны 3 и 9. Отсюда заключаем, что нет другого бесконечного числа, кроме единицы. Это представляется столь удивительным, что превосходит способность нашего представления, но в то же время поучает нас, сколь заблуждается тот, кто желает наделить бесконечное теми же атрибутами, которые присущи вещам конечным, в то время как эти две области по природе своей не имеют между собою ничего общего.

Я не могу не рассказать вам здесь об одном случае, пришедшем мне на память и дающем хороший пример существующей бесконечной разницы и даже противодействия природы, которые встречает конечная Величина при переходе в бесконечность. Начертим прямую линию АВ любой длины и возьмем где-нибудь аа ней точку С, разделяющую ее на две неравных части. Проведя попарно из конечных точек А и В линии, которые относились бы друг к другу так как отрезки АС и ВС, найдем, что все точки пересечения этих линрй будут лежать на окружности одного и того же круга; так пусть линии AL и BL, проведенные из точек А и В и сохраняющие между собою то же отношение, что части АС и ВС, пересекаются в точке L, а две другие линии АК и ВК, Сохраняющие ту же пропорцию, пересекаются в точке К; дальнейшими линиями пусть будут AI и BI, АН и НВ, AG и GB, AF и ГВ, АЕ и ЕВ и т. д.; все точки пересечения их L, К, I,H,G,F,E будут рас-положены на окружности одного и того же круга. Если мы представим себе теперь, что точка С движется, описывая линию таким образом, что расстояния ее от точек А и В всегда сохраняют то же отношение, что и первоначальные отрезки АС и СВ, то точка С опишет окружность круга, как я вам потом и докажу. Описанный таким образом круг будет тем больше, чем ближе точка С лежит к середине линии АВ, которую обозначим через О, и тем меньше, чем ближе она лежит к точке В. Бесконечным множеством точек, которые мы можем представить себе лежащими на линии ОВ, могут быть описаны (при движении указанным выше путем) круги любой величины—меньше зрачка в глазу блохи и больше экватора небесного свода. Итак, при движении любой из точек, расположенных между О и В, получаются круги и притом огромного размера по мере приближения к О; если теперь мы возьмем точку О и заставим ее двигаться, описывая линию по тому же закону, т. е. так, что расстояние ее от точек А и В всегда будет находиться между собой в том же отношении, как АО и ОВ, то какая линия будет ею описана? Очевидно, что это будет окружность круга, но круга большего из всех возможных, т. е. круга бесконечно большого; в то же время это будет и прямая линия, перпендикулярная к ВА, проходящая через точку. О, продолженная в бесконечность и не изгибающаяся для соединения своего верхнего конца с нижним, как то имеет место у прочих линий. В самом деле, точка С, начертив при своем ограниченном движении верхний полукруг СНЕ, продолжает при дальнейшем движении описывать нижний полукруг ЕМС и соединяет концы окружности в точке С; точка же О, приведенная в движение для того, чтобы описать свой круг как все остальные точки линии АВ (потому что и точки другой части ОА также могут описывать круги, достигающие тем большего размера, чем ближе они к точке О), и притом круг наибольший из всех и, следовательно, бесконечно большой, не может возвратиться к своей исходной точке и, в конце концов, чертит бесконечную прямую линию, являющуюся окружностью его бесконечно большого круга. Подумайте теперь, какая разница существует между кругом конечным и бесконечно большим. Последний настолько изменяет свою сущность, что окончательно теряет свое существование как таковой и даже самую возможность существования; теперь мы совершенно ясно понимаем, что не можем создать бесконечно большого круга; отсюда как следствие вытекает, что не может быть ни бесконечно большого шара, ни другого бесконечного тела, ни бесконечно большой поверхности. Что скажем мы о таких метаморфозах при переходе от конечного к бесконечному? И почему, стремясь найти бесконечность в больших числах, мы должны чувствовать неудовлетворенность, придя к выводу, что она выражается единицею? Когда мы разбиваем твердое тело на многие части и постепенно превращаем его в мельчайший порошок, предполагая, что оно разделяется на бесконечное множество своих атомов, не делимых далее, то почему не можем мы сказать, что такое тело возвратилось к состоянию непрерывному, но жидкому, как вода, или ртуть или другой расплавленный металл? И разве мы не видим, как камни расплавляются в стекло, и само стекло делается на большом огне жидким, как вода¹²?

Сагр. Должны ли мы думать, что жидкости таковы, как они есть, потому, что кита разложены на бесконечное число первоначальных неделимых частиц, их составляющих?

С а л ь в. Я не нахожу лучшего выхода для объяснения некоторых явлений, одно из которых следующее. Если я беру твердое тело, будь то камень или металл, и молотком или тончайшею иглою превращаю его в возможно тонкий порошок, то ясно, что отдельные частицы его все-таки конечны и имеют форму и число, хотя благодаря своей малой величине они неощутимы и неразличимы нашим глазом; отсюда получается, что сдвинутые вместе, они лежат кучкою; если вырыть в них углубление, то оно таковым и остается, и окружающие частицы не стремятся его заполнить; при сотрясении они приходят в движение, но тотчас же останавливаются, как только внешняя движущая причина их покидает. Подобные явления мы можем наблюдать на скоплении телец и большего размера различной, а не только сферической формы, как-то: на кучках проса, пшеницы, свинцовой дроби и всяких других веществ. Но если мы попытаемся наблюсти то же явление, взяв воду, то не увидим ничего похожего: поднимаемая вверх, она тотчас же разливается тонким слоем, если не удерживается сосудом или другой внешней причиной; вырываемое в ней углубление тотчас же заполняется окружающей водою; приведенная в движение, она долгое время. сохраняет его, и волны распространяются в ней на большие пространства. Отсюда, кажется мне, можно вполне основательно заключить, что частицы воды, из которых она, невидимому, состоит (более тонкие, нежели любой мельчайший порошок, и лишенные всякой устойчивости), весьма отличны от частиц конечных и делимых; и я не могу найти причины различия иначе, как в том, что они неделимы. Кажется мне также, что за то же говорит и ее чрезвычайная прозрачность. Если мы возьмем самый прозрачный кристалл и начнем ломать и толочь его в порошок, то он потеряет прозрачность, и в тем большей степени, чем мельче мы его истолчем; вода же, которая наиболее измельчена, остается совершенно прозрачною. Золото и серебро измельчаются крепкой водкою тоньше, нежели острейшим напильником, под действием которого они все же остаются в порошкообразном состоянии; но они делаются жидкостями и расплавляются лишь тогда, когда неделимые частицы огня или солнечных лучей растворяют и разлагают их, как я думаю, на первоначальные неделимые и бесконечно малые части.

С а г р. То, что вы сейчас упомянули вскользь относительно солнечного света, я наблюдал несколько раз с удивлением. Я видел как при помощи вогнутого зеркала около трех ладоней диаметром мгновенно расплавили свинец; поэтому я пришел к заключению, что если бы зеркало было очень велико, хорошо отполировано и имело параболическую форму, то оно в кратчайший срок расплавляло бы и все другие металлы, ибо то зеркало, которое я видел, не было ни большим ни особенно блестящим и обладало сферической формой, а между тем, с большой силою расплавляло свинец и зажигало разные горючие материалы. Эти явления заставили меня поверить в чудесное действие зеркал Архимеда.

 С а л ь в. Что касается зеркал Архимеда, то я верю всем проявлениям чудесного действия их, о которых можно прочесть у стольких писателей; сочинения самого Архимеда я читал и изучал с бесконечным удивлением; а если бы у меня и оставались какие-либо сомнения, то то, что написал по поводу зажигательных зеркал почтенный Бонавентура Кавальери и что я также с большим удовольствием прочел,"
окончательно рассеяло их¹³.

С а г р. Я также видел ртот трактат и прочел его с большим удовлетворением. Будучи ранее знаком с личностью автора, я еще более убедился в справедливости своего мнения о нем как об одном ид значительнейших математиков нашего времени. Но, возвращаясь к чудесному действию солнечных лучей, расплавляющих металлы, спрошу, должны ли мы думать, что действие их, и притом столь энергичное, происходит без участия движения, или же при участии движения, но весьма быстрого?

С а л ь в. Мы видим, что горение и плавление происходят в других случаях при участии движения и притом весьма быстрого: сюда относятся действие молнии, действие пороха в минах и петардах и все то, что получает способность расплавлять металлы посредством раздуваемого мехами угольного огня, смешанного с плотными и нечистыми газами. По-Этому я не думаю, чтобы и действие света, хотя бы и чистейшего, могло происходить без участия движения, и притом быстрейшего.

Carp. Но какого рода и какой степени быстроты должно быть это движение света? Должны ди мы считать его мгновенным или же совершающимся во времени, как все другие движения? Нельзя ли опытом убедиться, каково оно на самом деле?

С и м п л. Повседневный опыт показывает, что распространение света совершается мгновенно. Если вы наблюдаете с большого расстояния действие артиллерии, то свет от пламени выстрелов без всякой потери времени запечатлевается в нашем глазу в противоположность звуку, который доходит до уха через значительный промежуток времени.

С а г р. Ну, синьор Симпличио, из этого общеизвестного опыта я не могу вывести никакого другого Заключения, кроме того, что звук доходит до нашего слуха через большие промежутки времени, нежели свет; но это нисколько не убеждает меня в том, что распространение света происходит мгновенно и не требует известного, хотя и малого времени. Не более того дает мне и другое наблюдение, которое выражают так: „Как только Солнце поднимается на горизонте, блеск его тотчас же достигает наших очей". В самом деле, кто же может доказать мне, что лучи его не появились на горизонте ранее, нежели дошли до наших глаз?

С а л ь в. Малая доказательность этих и других подобных же наблюдений заставила меня подумать о каком-либо способе удостовериться безошибочно в том, что освещение, т. е. распространение света, совершается действительно мгновенно, потому что достаточно быстрое распространение звука заставляет уже предполагать, что распространение света должно быть крайне быстрым. Опыт, который я придумал, заключался в следующем. Два лица держат каждый по огню, заключенному в фонаре или в чем-либо подобном, который можно открывать и закрывать движением руки на виду у компаньона; став друг против друга нд расстоянии нескольких локтей, участники начинают упражняться в закрывании и открывании своего огня на виду у компаньона таким образом, что как только один замечает свет другого, так тотчас же открывает и свой. После многократных повторений такого упражнения достигается такое соответствие, что открытию одного огня без чувствительной ошибки немедленно отвечает открытие другого, так как тот, кто открывает свой свет, видит в тот же миг появление света своего компаньона. После подобных упражнений на малом расстоянии два упомянутых компаньона помещаются вместе со своими огнями в расстоянии двух или трех миль друг от друга и, выждав ночи для производства опыта, начинают внимательно наблюдать, получается ли ответ на открытие и закрытие огня с тою же быстротою, что и на близком расстоянии; если получается, то можно с достоверностью Заключить, что распространение света происходит мгновенно; если бы для него требовалось время, то расстояние в три мили, пробегаемое светом от одного источника до глаза другого участника и обратно, было бы достаточным, чтобы обнаружить известное запоздание. Если бы пожелали производить наблюдения при еще большем расстоянии, хотя бы в восемь или десять миль, то можно было бы воспользоваться телескопами, поставив лиц, производящих опыт, в таких местах, где ночью зажигались бы огни, хотя и незаметные для простого глаза благодаря малой их величине, но открытие и закрытие которых могло бы быть удобно наблюдаемо при помощи телескопа.

С а г р. Опыт этот кажется мне столь же надежным, сколь и остроумным. Но, скажите, каков же оказался его результат?

Сальв. Мне удалось произвести его лишь на малом расстоянии—менее одной мили—почему я и не мог убедиться, действительно ли появление противоположного света совершается внезапно. Но если оно происходит и не внезапно, то, во всяком случае, с чрезвычайной быстротой, почти мгновенно; я могу сравнить его с движением света молнии, который мы видим в облаках с расстояния в восемь-десять миль. Здесь мы различаем самый источник, начало и конец света в определенных местах тучи, хотя распространение света на все окружающее следует немедленно же. Это кажется мне доказательством того, что явление совершается с затратою времени, хотя и малою, потому что если бы свет молнии, возникал во всех частях сразу, а не постепенно, то, думается, мы не могли бы различить ее источника, центра ее сияния и разветвлений. По в каком безбрежном океане мы, сами того не замечая, очутились?! Мы плаваем среди пустоты, бесконечности, малых неделимых частиц, мгновенного движения и тысячи других вещей и никак не можем пристать к берегу ^ы.

С а г р. Положение, действительно, не соответствующее нашему намерению. Итак: бесконечное, отыскиваемое среди чисел, как будто находит свое выражение в единице; ид неделимого родится постоянно делимое; пустота оказывается неразрывно связанной с телами, и рассеянной между их частями; в результате, наши обычные воззрения на этот предмет меняются таким образом, что даже окружность круга превращается в бесконечную прямую линию. Это последнее ваше предложение, - если память мне не изменяет, вы, синьор С а л ь виати, должны были доказать геометрически. Я думаю, что теперь было бы как раз уместно привести его, если вы ничего не имеете против.

С а л ь в. Я к вашим услугам и предложу вашему вниманию следующую задачу: дана прямая линия, разделенная в какой угодно пропорции на две неравных части; требуется описать круг так, чтобы прямые линии, проведенные от концов данной прямой к окружности, и при том к любой точке последней, сохраняли между собою то же отношение, какое существует между частями прямой; выходящие из одного конца линии будут, таким образом, „гомологичными".

Пусть данная прямая линия АВ разделена на две произвольных неравных части точкою С; требуется описать такой круг, чтобы прямые линии, проведенные из точек А и В к любой точке окружности, относились друг к другу как СА к ВС, и таким образом выходящие из одного конца линии были гомологичными. Опишем из центра С радиусом, равным меньшей

части линии или СВ, круг и проведем из точки А касательную к окружности этого круга AD, продолжив ее на неопределенную длину по направлению к Е; точку касания D соединим с центром линией СВ, которая будет перпендикулярна к линии АЕ; из точки В восставим перпендикуляр к линии АЕ до пересечения с касательной в точке Е; из точки Е опять восставим перпендикуляр к линии АЕ, который пересечет продолжение линии АВ в точке F. Утверждаю, прежде всего, что обе прямые ГЕ и FC равны между собою; действительно, проведя линию ЕС, мы получим два треугольника DEC и ВЕС, две стороны одного из коих DE и СЕ соответственно равны двум сторонам другого BE и ЕС, так как линии DE и ЕВ суть касательные, проведенные из одной точки к кругу DB, линии же и СВ равны как радиусы; следовательно, угол DEC равен углу ВЕС. Теперь, так как углу ВСЕ до прямого недостает угла СЕВ, а углу CEF до прямого недостает угла CED, т. е. равных величин, то углы FCE и FEC будут между собою равны. Треугольник CFE будет, таким образом, равнобедренным, и стороны его FE и FC будут равны между собою; круг, описанный из центра F радиусом FE, пройдет, следовательно, через точку С. Опишем такой круг CEG; утверждаю, что это и есть искомый нами круг, из любой точки окружности коего можно провести к концам А и В прямые линии, которые будут относиться друг к другу как части АС и ВС, соединяющиеся одна с другой в точке С. Относительно двух линий, встречающихся в точке Е, т. е. линий АЕ и BE, э^то ясно, так как угол Е треугольника АЕВ делится линией СЕ пополам, почему отношение сторон АЕ и BE будет таково же, как! и отношение отрезков АС и СВ. То же может быть доказано и относительно линий AG и BG, оканчивающихся в точке G. Из подобия треугольников AFE и EFB вытекает, что отношение AF к FE равно отношению EF к FB; заменяя FE равной ей линией CF получаем, что отношение AF к CF равно отношению CF к FB; отсюда, деля отношение на два, Получаем, что АС к CF (или что то же самое—к FG) относится так же, как СВ к BF, а вся линия АВ относится ко всей линии BG, как СВ к BF; отношение AG к GB будет равно отношению CF к FB или EF к FB, или АЕ к ЕВ или АО к СВ, что и требовалось доказать. Возьмем другую произвольную точку на окружности; пусть этой точкой будет Н, а пересекающимися в ней линиями—АН и ВН. Утверждаю, что отношение АН к НВ также равно отношению АС к СВ. Продолжим линию НВ до пересечения с окружностью в точке I и соединим последнюю с точкою F прямой IF; при этом окажется попреж-нему, что отношение АВ к BG будет равно отношению СВ к BF; прямоугольник ABF будет равен прямоугольнику CBG или же IBH¹⁵. Так как, далее, отношение АВ к ВН равно отношению IB к BF и углы при В равны, то, следовательно, отношение АН к НВ равняется отношениям IF к FB или EF к FB и АЕ к ЕВ.

Скажу, кроме того, что невозможно, чтобы линии, имеющие указанное выше отношение и исходящие из точек А и В, встречались в какой-либо точке, лежащей внутри или вне окружности CEG. Предположим, действительно, что это возможно, и что две такие линии AL и BL встречаются в точке L, вне окружности. Продолжим линию LB до пересечения ее с окружностью в точке М и проведем линию MF. Если теперь отношение AL к BL равно отношениям АС к ВС или же MF к FB, то мы будем иметь два треугольника ALB и MFB, у которых стороны, лежащие против равных углов ALB и MFB, будут пропорциональными, углы при вершине в точке В будут равны, а остающиеся углы FMB и LAB будут острыми (ибо угол с вершиной в точке М мог бы быть прямым лишь в том случае, если бы основанием его являлся весь диаметр CG, а не толькочасть его BF; другой же угол с (вершиной в А острый, так как линия AL, гомологичная АС, больше линии BL, гомологичной ВС); следовательно, треугольники ABL и MBF подобны, и отношение АВ к BL равно отношению MB к BF, почему прямоугольник ABF будет равен прямоугольнику MBL; но по доказанному выше прямоугольник ABF равен прямоугольнику CBG; следовательно, выходит, что прямоугольник MBL равен прямоугольнику CBG, что невозможно. Таким образом пересечение линии вне окружности невозможно; равным образом невозможно оно и внутри круга, что доказывается тем же способом; следовательно, все точки пересечения лежат на самой окружности.

По нам пора уже вернуться назад и удовлетворить желание синьора Симпличио, показав ему, что разложение линий на бесконечное множество ее точек не только не невозможно, но сопряженно не с боль шими трудностями, чем разделение на конечные части; для этого необходимо только одно условие, на которое, полагаю, синьор Симпличио согласится. Оно Заключается в следующем: вы не должны требовать, чтобы я отделил одну точку от другой и показал их вам в отдельности на этой бумаге; со своей стороны, я не требую действительного разделения линии на четыре или шесть частей и довольствуюсь одним указанием вами точек деления линии или точек ее перелома, когда вы хотите ограничить ею квадрат или шестиугольник, это уже убеждает меня в правильности приема.

С и м п л. Согласен.