ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

том первый

DISCORSI DIMOSTRAZIONI

MA T E M A T I С Н E,

intorno a due пиоце fiienеtte

Attenenti alia

Mecanica i Movimenti Logah,

Filosofoe Matematico primario del Sereniffimo Grand Ducadi Toscana.

Appreslbe Ji Elfevirii. м. d. c. xxxviti.

ОТРАСЛЕЙ НАУКИ

С а л ь в. На это уже ответил синьор Сагредо; он сказал, что подобным же образом платят жалование каждому отдельному солдату из суммы налога, собираемого по сольди и лиардам, хотя требуется более чем на миллион золота для оплаты всего войска. Кто знает, не действуют ли в мельчайших частях также и мельчайшие пустоты, и не они ли держат в связном состоянии части твердого тела, подобно тому как отдельные монеты образуют совокупность? Скажу вам то, что сейчас пришло мне в голову; Выдаю это не за достоверную истину, но за идею, нуждающуюся в развитии и более глубоком исследовании. Посмотрите, не найдете ли вы тут чего-нибудь, что вам понравится; об остальном судите, как вздумается. Много раз я наблюдал, как огонь, проникая между частицами того или иного металла, столь крепко связанными между собою, в конце концов, разделял и разъединял их, и как затем по устранении огня частицы возвращались в прежнее состояние связности, причем не замечалось ни малейшего уменьшения количества золота и очень небольшое уменьшение количества других металлов, если они оставались в расплавленном виде долгое время. Я думал, что это можно объяснить тем, что тончайшие частицы огня, проникая в мельчайшие поры металла (через которые благодаря их ничтожной величине не могут проходить более грубые частицы воздуха или иных жидкостей), Заполняют существующие между ними мельчайшие пустоты и освобождают частицы от действия той силы, которая держала их связанными друг с другом, и тем способствуют их разъединению. Получив, таким образом, свободу движения, частицы образуют жидкую массу и остаются в таком состоянии, пока между ними находятся частицы огня; после же того как последние отнимаются, образуются первоначальные пустоты и восстанавливается первоначальное притяжение, а вместе с тем и связность частиц. На; замечание синьора Симпличио мне кажется можно ответить, что хотя рти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но бесчисленность их количества увеличивает сопротивляемость в бесчисленное число раз (если можно так выразиться). Какова и сколь велика может быть сила, получающаяся от соединения бесконечного числа слабых моментов, мы ясно можем представить себе, видя, как огромная тяжесть, весом в миллион фунтов, поддерживаемая толстым канатом, уступает и дает себя победить и поднять бесчисленным атомам воды. Принесенные южным ветром или рассеянные в виде тончайшего тумана эти атомы носятся по воздуху, проходят между волокнами толстейшего каната, чему не может помешать даже натягивающая его огромная тяжесть, проникают в малейшие щели, заставляя канат разбухать и укорачиваться, и таким образом, поднимают тяжесть⁷.

С а г р. Вы не сомневаетесь в том, что если сопротивление не бесконечно велико, то оно может быть преодолено множеством весьма малых сил, так что большое количество муравьев могло бы вытащить на землю судно, нагруженное зерном; в самом деле, мы ежедневно наблюдаем, как муравей тащит зерно, а так как зерен в судне пе бесконечное множество, но некоторое ограниченное число, то; увеличив это число даже в четыре или в шесть раз, мы все же найдем, что соответственно большое количество муравьев, принявшись за работу, может вытащить на землю и зерно и корабль. Конечно, для того чтобы Это было возможно, необходимо, чтобы и число их было велико; мне кажется, что именно так обстоит дело и с пустотами, держащими связными частицы металла.

С а л ь в. Но если бы число их было бесконечным, то сочли ли бы вы это возможным?

С а г р. Это невозможно, поскольку металл является массою не бесконечной; в противном случае...

С а л ь в. В противном случае—что же? Раз мы уже дошли до парадоксов, то попробуем, нельзя ли каким-либо образом доказать, что в некоторой конечной непрерывной величине может существовать бесконечное множество пустот. Попутно с этим мы найдем, если не что-либо иное, то, по крайней мере, приближенное решение проблемы, которую сам Аристотель причислял к наиболее изумительным в области механики⁸. Решение это будет не менее ясным и доказательным, нежели его собственное, а вместе с тем и отличным от глубокомысленных соображений ученейшего монсиньора ди Гуевара. Однако сперва необходимо рассмотреть одно предложение, не связанное с другими, но от которого зависит решение данного вопроса и которое, если не ошибаюсь, лежит в основе многих иных удивительных явлений. Для лучшего пояснения начертим аккуратно следующую фигуру. Дан равносторонний и равноугольный многоугольник с любым числом сторон, центром которого является точка G; предположим, что это будет шестиугольник ABCDEF. Впишем в него подобный же, но меньший концентрический многоугольник HIKLMN.

Продолжим одну из сторон АВ большего многоугольника в направлении S, в соответствии с чем продолжим в том же самом направлении в сторону меньшего шестиугольника Ш, так что линии НТ и AS будут параллельными, а затем проведем еще третью параллельную эквидистантную линию GV через центр G. Проделав это построение, представим себе, что больший многоугольник катится по линии AS, увлекая с собою и меньший многоугольник. Ясно, что при начале движения В—конечная точка стороны АВ—останется на месте, точка А поднимется, а точка С опустится, описав дугу CQ, так что сторона ВС, достигнув линии AS, образует линию BQ, равную ей. При э^том вращении вершина угла I меньшего многоугольника поднимается над линией IT, так как линия IB наклонна по отношению к AS, и точка I достигнет параллели IT, но не ранее, чем точка С придет в положение Q. Тогда I перейдет в О, описав предварительно дугу 10 вне линии НТ, и линия IK отложится на параллели, как ОР. При этом цецтр G также поднимется над линией GV и достигнет ее вновь после того, как опишет дугу GC. После этого первого поворота больший многоугольник окажется поставленным на сторону ВС, занявшую положение ВО, а меньший—на сторону IK, переместившуюся в положение ОР, причем пространство 10 останется незатронутым; центр G перейдет в С, также не затронув линии GV. В конце концов вся фигура придет в положение, аналогичное первоначальному. Если продолжать катить многоугольник и сделать второй поворот, то сторона DC большего многоугольника займет положение QX, сторона KL меньшего придет в YZ, перескочив пространство PY, а центр, двигаясь все время над линией GV, достигнет последней в точке R, сделав скачок CR. В результате полного оборота больший многоугольник отложит на линии AS подряд без каких-либо промежутков шесть равных линий, составляющих в сумме его периметр; меньший многоугольник также отложит шесть отрезков, равных его сторонам, но разделенных пятью дугами, хорды которых—части линии НТ—остаются незатронутыми многоугольником; наконец, центр G прикоснется к линии GV только в шести точках. Отсюда вы можете заключить, что пространство, пройденное малым многоугольником, почти равно пройденному большим, так как линия НТ почти равняется линии AS, будучи менее последней лишь на величину хорды одной из дуг, если рассматривать линию НТ сполна, т. е. вместе с отрезками под дугами. Теперь я хотел бы, чтобы, пользуясь показанным и объясненным мною на примере данного шестиугольника, вы представили себе то же в отношении всяких других многоугольников, сколько бы сторон они ни имели, лишь бы они были подобны, концентричны и связаны между собою. При качении большего многоугольника должен также двигаться и произвольно избранный меньший; при этом, повторяю, следует иметь в виду, что пути, проходимые тем и другим, будут почти равны, если включить в пространство, пройденное меньшим, также и интервалы под дугами, не затронутые на самом деле никакой частью периметра меньшего многоугольника. Таким образом, когда больший многоугольник' о тыся-• чью сторон, постепенно вращаясь, пройдет прямую линию, равную своему периметру, меньший многоугольник пройдет в то же самое время приблизительно такой же путь, составленный из тысячи отрезков, равных его сторонам, и тысячи пустых пространств между ними, как мы можем назвать эти промежутки, в противоположность отрезкам, отмеченным наложением сторон многоугольника. В том, что было пока сказано, нет ничего сомнительного иди возбуждающего какие-либо затруднения. По теперь скажите мне: если из какого-либо центра, например из точки А, мы опишем две концентрических окружности, представим себе круги связанными между собою, через концы их радиусов С и В проведем касательные СЕ и BF, а через центр А параллельную им линию AD, и покатим большой круг по линии BF (отмерив последнюю так, чтобы она равнялась длине окружности, равно как и другие линии СЕ, AD), то что произойдет с меньшим кругом и центром после того, как большой круг сделает полный оборот? Центр, конечно, пройдет всю линию AD, а окружность малого круга своим прикосновением пройдет всю линию СЕ так же, как это имело место ранее с малым многоугольником, с той только разницей, что линия НТ не во всех своих частях затрагивалась периметром многоугольника и содержала столько же пустых промежутков, сколько было отрезков, отмеченных наложением сторон многоугольника; что же касается кругов, то окружность меньшего не может оторваться от линии СЕ, так, чтобы не соприкасаться с нею в одной точке, и всегда одна из точек окружности лежит па прямой. Каким же образом меньший круг может пройти линию, настолько превышающую его окружность, без скачков и промежутков?

Сагр. Мне кажется, можно сказать, что как центр круга, рассматриваемый отдельно и являющийся только одной точкой, передвигается по линии AD, соприкасаясь с нею на всем протяжении, так и точки окружности меньшего круга, увлекаемые движением большего, могут двигаться, скользя по частям линии СЕ.

С а л ь в. Этого не может быть по двум причинам. Во-первых, нет никаких оснований для того, чтобы соприкосновение, подобное существующему в точке С, проходило одну часть линии СЕ скользя, а другую иначе; если бы рто происходило так, то должно было бы существовать бесконечное множество таких скользящих прикосновений (являющихся точками); следы таких скользящих прикосновений к линии СЕ были бы также бесчисленными, и при конечной величине образовали бы бесконечную линию; на самом же деле линия СЕ конечна. Другая причина та, что когда больший круг при своем вращении меняет точки касания с прямой, то меньший круг не может не делать того же, так как ни из какой другой точки, кроме точки В, нельзя провести прямой линии к центру А, которая проходила бы в то же время и через точку С; поэтому как только большая окружность меняет точку касания, так тотчас же меняет таковую и меньшая окружность, и только одна точка малой окружности может соприкасаться с одной точкой соответствующей прямой линии СЕ. Кроме того, было выяснено, что при качении многоугольников каждая точка периметра меньшего многоугольника соприкасается не более чем с одной точкой линии, на которую накладывается его периметр. Это можно легко понять, имея в виду, что линии IK и ВС параллельны: пока ВС еще не заложена на BQ, линия IK остается приподнятой над IP и достигает последней лишь в тот момент, когда ВС совпадает с ВО; тогда и IK совпадает с ОР, после чего немедленно же поднимается.

Сагр. Это случай, действительно, весьма сложный; я не вижу никакого исхода, а потому прошу вас сказать нам ваше решение.

С а л ь в. Я возвращусь к рассмотрению упомянутых выше многоугольников, на которых явление было понято и уяснено нами, и скажу, что как в многоугольнике со ста тысячами сторон путь, пройденный при обороте, измеряется обводом большего многоугольника, т. е. отложением без перерыва всех его сторон, в то время как путь меньшего многоугольника также равен ста тысячам его сторон с прибавлением такого же числа, т. е. ста тысяч пустых промежутков, так и в кругах (представляющих собою многоугольники с бесконечно большим числом сторон) линия, образуемая непрерывным наложением бесконечно большого числа сторон большего круга, приблизительно равна по длине линии, образованной наложением бесконечно большого числа сторон меньшего круга, если включить в нее и наличные промежутки; а так как число сторон не ограничено, а бесконечно, то и число промежутков между ними также бесконечно; бесконечное множество точек в одном случае занимает пространство полностью, в другом пространство занято бесконечным множеством точек и пустых промежутков. Я хотел бы, чтобы вы заметили себе, что, разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не оставляя пустых пространств между ее частями; но линию, разделенную на бесконечное число частей, т. е. составленную из неделимых бесконечно малых частиц, мы можем представить себе простирающейся без прерывания конечными пустотами, но включающей бесконечное множество малых неделимых пустых пространств. То, что я сказал о простых линиях, относится также и к поверхностям твердых тел, если рассматривать их как состоящие из бесконечного множества атомов. Если мы разделим тело на конечное число частей, то, без сомнения, не сможем получить из них тела, которое занимало бы объем, превышающий первоначальный, без того, чтобы между частями не образовалось пустого пространства, т. е. такого пространства, которое не заполнено частями данного твердого тела; но если мы дойдем до последнего крайнего разложения тела на бесконечное множество мельчайших составляющих его частиц, то мы можем представить себе вещество занимающим в таком состоянии большее пространство без присутствия конечных пустых мест, но со включением бесконечного множества бесконечно малых пустот. Таким образом можно, например, превратить маленький золотой шарик в тело весьма большой величины без образования в нем конечных пустых пространств.

Во всяком случае мы должны признать, что золото состоит из бесконечно малых неделимых частиц⁹.

С и м п л. Мне кажется, что вы напали на след тех пустот, которые признавал один древний философ.

С а л ь в. Надеюсь, что вы не прибавите „отрицавший божественный промысел", как это весьма неуместно сделал в случае, подобном нашему, один из противников нашего Академика.

С и м п л. В этом замечании я усматриваю ясно и не без досады злопамятство грубо задетого противника. Но я не буду касаться подобных вопросов не только из соображений религиозных, но также и потому, что они совершенно не соответствуют вашим умеренным и высокопросвещенным взглядам; я знаю, что вы являетесь не только религиозным и благочестивым человеком, но и богобоязненным католиком. Возвращаясь в нашей проблеме, скажу, что в течение нашей беседы во мне родились многие сомнения, от которых я при всем желании не могу освободиться. Прежде всего, следующее: если окружности двух кругов равны двум прямым СЕ и BF,—последней сполна, а второй—с присоединением бесконечного множества пустых промежутков,—то каким образом линия AD, описанная центром, представляющим не что иное как одну точку, может быть приравнена к этому центру, в то время как состоит из бесконечного числа точек. Кроме того, это составление линии из точек, делимого из неделимого, конечного из бесконечного кажется

мне не легко преодолимым препятствием; точно так же и признание существования пустоты, столь решительно отвергаемой Аристотелем, представляет большие затруднения.

С а л ь в. Такие затруднения действительно существуют, равно как и многие другие; но вспомните о том, что мы имеем дело, с одной стороны, с величинами бесконе'чно большими, с другой — с бесконечно малыми, неделимыми, постичь которые умом невозможно благодаря необъятности одних и малости других. Мы убеждаемся здесь, что человеческая речь не приспособлена для выражения таких понятий.
Однако я все же позволю себе изложить некоторые свои соображения, которые хотя и не исчерпывают вопроса, но могут представить некоторый интерес благодаря своей новизне. Впрочем, столь частые уклонения в сторону от начатого пути, быть может, покажутся вам неуместными и маложелательными?

С а г р. Нисколько. Будем пользоваться теми преимуществами и благами, которые дают нам живая дружеская беседа и свободное, непринужденное обсуждение предмета, столь отличные от изучения мертвых книг, при чтении которых у тебя возникают тысячи сомнений и нет никого, кто бы помог разрешить их. Познакомьте же нас с теми соображениями, которые пришли вам на мысль в течение нашего разговора; за отсутствием особо необходимых Дел у нас хватит времени на то, чтобы продолжить обсуждение и других вопросов; в особенности же должны быть разрешены те затруднения, которых коснулся синьор Симпличио.

С а л ь в. Пусть будет так, как вы желаете. Начнем с того, как может быть, чтобы одна точка приравнивалась к целой линии. Сейчас я не нахожу иного выхода, как постараться устранить или, по крайней мере, смягчить эту кажущуюся несообразность путем указания другой подобной же или еще большей: часто удивительные вещи бледнеют пред лицом еще более чудесных. То, что я хочу показать вам, заключается в следующем: представим себе две одинаковых поверхности и два совершенно одинаковых тела, поставленных на эти поверхности, как на основания, и пусть затем эти тела, оставаясь все время равновеликими одно другому, постепенно делаются все меньше и меньше, причем одно из тел вместе со своим основанием обращается в длинную линию, а другое со своей поверхностью—в одну точку; таким образом в одном случае получится лишь единственная точка, а в другом — бесконечное множество¹ их.

С а г р. Такое предложение представляется мне на самом деле изумительным; пожалуйста, дайте нам пояснения и доказательства.

С а л ь в. Необходимо нарисовать чертеж, так как доказательство будет чисто геометрическим. Начертим полукруг AFB с центром С и описанный около пего прямоугольный параллелограм ADEB и проведем из центра к точкам D и Е прямые линии CD и СЕ. Представим себе, далее, что линия CF, проведенная из центра перпендикулярно к прямым АВ и DE, остается неподвижной, вся же фигура вращается около нее, как около своей оси.

Ясно, что прямоугольник ADEB опишет при этом цилиндр, полукруг AFB— полушар, а треугольник CDE—конус. Предположим теперь, что мы вынули полушар, но оставили конус и ту часть цилиндра, которая выходила за пределы йолушара, — чашеобразную фигуру, которую мы и будем для простоты называть „чашею". Сначала мы докажем, что чаша и конус равновелики; затем, проведя какую-либо плоскость параллельно кругу, служащему основаниехм чаши, диаметром которого является DE и центром — точка F, покажем, что такая плоскость, проходящая, например, через линию GN, пересекает чашу в точках G, I, О, N и конус в Н, L таким образом, что отсекаемая часть конуса CHL остается равновеликой отсекаемой части чаши, разрез которой показывают треугольники GAI, BON. Далее выяснится, что основание этого конуса, т. е. круг с диаметром HL, равновелико площади, являющейся основанием отрезка чаши и представляющей собою полосу, ширина которой -определяется линией GI. (Обратите, между прочим, внимание на то, как полезны математические определения, имеющие характер терминов, и как сокращают они обычные словесные выражения; мы испытывали бы меньшие затруднения дри изложении, если бы согласились называть упомянутую выше поверхность просто кольцеобразной полосой, а верхние острые края чаши—кольцевым лезвием бритвы.) Впрочем, как бы мы ни называли их, достаточно признать, что в каком бы месте ни проходила плоскость, параллельная основанию, т. е. кругу с диаметром DE, она всегда отсекает два равновеликих тела—верхушку конуса и верхнюю часть чаши; одинаково остаются равновеликими и основания этих тел, т. е. упомянутая полоса и круг HL. Отсюда вытекает удивительное следствие: проводя секущую плоскость все выше и приближая ее к АВ, мы постоянно будем получать равновеликие тела: равным образом будут оставаться равновеликими и площади, являющиеся их основаниями; так будет продолжаться до тех пор, пока, наконец, оба тела (всегда равновеликие) и обе площади (также равновеликие) не перейдут — одно в окружность, а другое — в точку, потому что таковы крайние пределы уменьшения чаши и конуса. Так как, далее, при уменьшении обоих тел они до конца остаются равновеликими, то следует сказать, что при последнем крайнем уменьшении они также равновелики, и одно из них пи в коем случае не может превышать другого в бесконечное число раз; таким образом оказывается, что большая окружность может быть названа равновеликой одной точке. То, что происходит с телами, имеет место¹ и в отношении площадей их оснований; сохраняя при постоянном уменьшении равенство между собою, они переходят в последний момент— одна в окружность, другая—в точку. Почему же мы не можем назвать их равными, когда они являются последними остатками и следами неизменно равновеликих величин? Заметим себе при ртом, что если бы чаша была такой вместимости, как небесный свод, то остаток ее верхнего отрезка и вершина находящегося в ней конуса всегда оставались бы равновеликими, хотя бы и превратились, в конце концов,— первое тело в необъятный большой круг небесного свода, а второе — в простую точку. Следовательно, мы Сможем в соответствии с тем, в чем убеждает нас рассуждение, назвать все окружности, как бы ни были они различны, равновеликими между собою и равными каждая в отдельности одной точке¹⁰.

С а г р. Ваше рассуждение кажется мне таким тонким и удивительным, что я, если бы и мог, не хотел бы оспаривать его. Мне представляется почти преступлением разрушать такое прекрасное построение грубыми педантическими нападками. Для полного удовлетворения дайте нам, однако, геометрическое доказательство того, что между упомянутыми телами и их основаниями сохраняется постоянное равенство; я думаю, что оно будет столь же остроумно, как и те тонкие философские рассуждения, которые получаются в конечном выводе.

С а л ь в. Доказательство очень легко и коротко. Возвращаемся к начерченной нами фигуре. Так как угол IPC прямой, то квадрат радиуса 1С равен сумме квадратов сторон IP и PC. Но линия 1С как радиус равна линии АС, которая, в свою очередь, равна GP, а линия СР равняется РЫ; таким образом квадрат линии GP равен сумме квадратов линий IP и РН и, будучи учетверенным, равен учетверенной сумме тех же квадратов; таким образом квадрат диаметра GN равен сумме квадратов линий 10 и HL, а так как площади кругов относятся между собою как квадраты диаметров, то площадь круга с диаметром GN равна сумме площадей двух кругов с диаметрами 10 и HL. Вычитая из обеих частей равенства по общему кругу с диаметром 10, получаем в результате, что остаток круга с диаметром GN будет равен кругу с диаметром HL. Вот доказательство первой части; что же касается доказательства второй, то мы опустим его, так как если вы того пожелаете, то можете найти его в предложении XII книги второй „De centro gravitatis solidorum" синьора Луки Валерио, нового Архимеда нашего времени, который пользовался этим предложением, но для другой цели ^п. Для нас же совершенно достаточно того, что, как мы видели, указанные выше площади равны между собою, и что постепенно и в равной степени уменьшаясь, они переходят в конце концов,—одна в простую точку, другая же—в окружность какой угодно величины; в этом именно следствии и заключается все, что тут есть чудесного.

Саг р. Прекрасное доказательство, вполне соответствующее сделанному выше удивительному выводу. А теперь ответьте что-нибудь и на другой вопрос, затронутый синьором Симпличио, если только вы ' имеете сказать по этому поводу что-либо особое, хотя, думается мне, это едва ли может иметь место, так как э^тот вопрос уже столько раз был предметом споров.

С а л ь в. Я хочу высказать одну особую мысль, повторяя то, что было сказано мною незадолго перед Этим,, а именно, что бесконечное для нас, по существу, непостижимо, равно как и последнее неделимое. Представьте себе, что будет, если соединить и то и другое; если мы хотим составить линию из неделимых . точек, то мы должны взять бесконечное множество их; таким образом мы познаем одновременно и бесконечное и неделимое. Много разных соображений приходило мне в голову в подобных случаях; паиболее эажных из них я сейчас не могу припомнить, но может случиться, что при продолжении нашей беседы, побуждаемый возражениями и затруднениями, выдвигаемыми вами и в особенности синьором Симпличио, я натолкнусь и на них; без такого побуждения многим фантазиям не суждено было бы родиться на свет. Таким образом будем с полной свободой вводить в беседу наши человеческие догадки, как мы по совести должны назвать их в сравнении с учением о сверхъестественном, которое одно истинно и надежно разрешает наши спорные вопросы, являясь нашим проводником при блуждании по темным и неверным тропинкам умственного лабиринта.

Главное возражение против тех, кто считает возможным составление непрерывного из неделимых частиц, заключается в том, что одна неделимая частица, присоединенная к другой, не может дать делимой величины, потому что, если бы это было так, то отсюда следовало бы, что и неделимое может быть разделяемо. В самом деле, если две неделимых части, как, например, две точки, будучи соединены вместе, составят некоторую величину—в данном случае делимую линию,—то можно представить себе последнюю состоящей и из трех, пяти, семи или другого числа нечетных частей; разделение такой линии на две равных части новело бы к делению пополам и той неделимой частицы, которая лежит как раз в середине. На это и другие возражения в том же роде можно ответить, что не только две неделимых частицы, но и десять, сто и тысяча частиц не могут составить конечной делимой величины, ибо для этого их потребуется бесконечное множество.

С и м п л. У меня сейчас рождается сомнение, кажущееся мне неразрешимым. Мы знаем наверное, что одни линии могут быть больше других; представляя их себе составленными из бесконечного множества точек, мы должны признать, что можем найти величины одного и того же рода, большие, нежели бесконечность, потому что бесконечное множество точек большей линии должно превышать бесконечное множество их меньшей линии. Такое признание одной бесконечности большей, нежели другая бесконечность, представляется мне совершенно¹ непостижимым.

С а л ь в. Сказанное вами относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем, это неправильно, так как такие свойства, как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бес-конечпому, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей. В подтверждение этого положения мне пришел в голову пример, который я для большей ясности изложу в форме вопросов, обращенных к синьору Симпличио, указавшему на затруднения.

Я полагаю, что вы прекрасно знаете, какие числа являются квадратами и какие нет.