Умов Н А - ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

УМОВ Николай Алексеевич
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ ПОСТОЯННОЙ УПРУГОСТИ

Впервые напечатано в Математическом сборнике, т. 5, 1870 г. (Прим. ред.)

§ 4. Мы переходим к исследованию некоторых частных видов дифференциальных параметров первого порядка поверхностей р, р_г, |.,.

а) Предположим, что поверхность p есть поверхность вращения. Принимая ось вращения за ось z, называя через г расстояние точки поверхности от оси, через р_г — угол меридиональных плоскостей с постоянною

плоскостью, через р_г— параметр поверхностей, пересекающих поверхности p и р₂ под прямым углом, мы имеем, полагая p постоянным:

Замечая, что мы

находим по уравнению (1):

Точно так же имеем:

Следовательно, Н_г и На в поверхностях вращения не зависят от параметра меридиональных плоскостей.

Ь) Рассмотрим цилиндрические поверхности. Возьмём ось z параллельно образующей. Координату z примем за параметр плоскостей, нормальных к оси z. Параметр плоскостей, параллельных оси z и нормальных к поверхности цилиндра, которую принимаем за поверхность [>, означим через f/_t.

Имеем, полагая p постоянным:

откуда находим:

В обоих случаях (а) и (Ь), как легко видеть, первое из уравнений (14) обращается в тождество, и уравнение (15) сводится к двум последним членам.

Как пример цилиндрической волны рассмотрим эпициклоидалы-гый цилиндр.

Представим себе (рис. 1) в среде постоянной упругости два равных неограниченных круглых цилиндра А и В. Оба цилиндра образуют по линии MZ узкую щель, параллельную их осям и через которую вытекают колебания в пространство, находящееся перед цилж:-.драми. От этой щели побегут колебания, огибая до ы>-

которой точки L один из цилиндров и затем распространяясь по касательной к нему LQ. Таким образом, от MZ побежит цилиндрическая волна, сечение которой, перпендикулярное к образующей, представит кривая PQ. Эту последнюю мы можем себе представить происшедшей от движения конца нити MR, навёрнутой на щь

Рис. 1.

линдp В и затем развёртываемой при постоянном натяжении. Длина этой нити может быть принята за параметр р, так как все колебания, одновременно вышедшие из MZ, будут одновременно прибывать к различным поверхностям р. Для некоторого момента сечение волны будет P'Q', для другого P"Q" и т. д. Если примем радиус цилиндров равным 1, угол MOL —sä параметр p_t касательных плоскостей. NLQZ', нормаль-

ных к волне, то геометрические свойства волны представятся уравнениями:

с) Исследуем поверхность, для которой

Означая это отношение через и,, мы находим из уравнений (14):

Интегрируя, получаем:

Это равенство возможно, если только (j. постоянно. Поэтому уравнения (12) примут вид:

И из уравнений (2) мы находим величину кривизн поверхности р:

т. е. оба радиуса кривизны равны между собою в каждой точке поверхности p и не изменяются при переходе от одной точки к другой. Следовательно, в рассматриваемом случае поверхность p есть сфера. Сюда же относится случай

если одно из уравнений (14) не обращается тождественно в нуль, что приводит к круглому цилиндру. Если мы примем //=1, получим:

Вместо p -l u. мы можем поставить просто p при условии, что при р = 0 будет /fj —0, /7о=--0. Тогда Нг = Рр, H_Z = Q?.

Принимая р₂ за параметр меридиональных плоскостей, р_г — за параметр конуса широты и p--за радиус сферы, мы получаем из выражений (11):

Следовательно,

d) Исследуем поверхность волны р, когда одна из величин Р₁ пли Q-^ обращается в нуль. Примем

<?1 = 0-

Кривизны поверхности р определяются из уравнений (7), и мы находим:

откуда заключаем, что один радиус кривизны есть величина, постоянная для всех точек поверхности р, другой же — величина переменная. Следовательно, поверхность р имеет вид канала, образованного движением центра сферы постоянного радиуса г" по некоторой кривой в пространстве.

Так как 0₁=0, то из уравнений (14) мы находим, что />! не должно зависеть от \-_г и Q не должно зависеть от р!. Поэтому кривизны поверхностей р_ъ р_а будут по выражениям (7):

е) Явления оиффракции. При своём движении волна может встречать препятствия, которые она должна огибать, или отверстия, через которые может проникнуть только часть волны. Как в том, так и в другом случае явления изменяются, ибо изменяется самый вид волны.

Предположим (рис. 2), что //' представляет поверхность волны в какой-нибудь момент времени.

Рис. 2.

MN представляет препятствие. Линии а, а', а", а'" представляют направление нормалей к волне. В некоторый момент волна принимает положение QM, затем Q'M'J", ибо движение распространилось и в пространстве M'MN. Сечение поверхности M'J" плоскостью, нормальною к ребру препятствия MN, есть дуга круга. Следовательно, эта поверхность принадлежит к разряду исследованных в (d). Излагаемая ниже теория поперечных колебаний даёт возможность по данному виду волны определить законы колебаний, происходящих на её поверхности; а следовательно, определяя дифференциальные параметры первого порядка ортогональной системы, включающей поверхность Q'M'J", вставляя их в найденные выше дифференциальные уравнения с частными производными и интегрируя их, мы решим задачу.

Пусть //' (рис. 3) представляет снова начальное положение волны и MN—отверстие- Легко видеть, что одним из последующих положений волны будет 00'0"0'", где 00', О"О'" суть поверхности, определённые в (d). Такой случай решается, как и предыдущий.

Метод изыскания законов диффракции, здесь предложенный, представляет к своему осуществлению многие трудности, заключающиеся преимущественно в разрывности всех или некоторых дифференциальных параметров первого порядка ортогональной системы. В этой разрывности заключается основной характер явлений диффракции.

Рис. 3.

назад вперед