1. В статье “Уравнения движения энергии в телах> было показано, что для тел постоянной упругости мы имеем:

где Э означает плотность энергии в точке упругого тела, р — натяжения, и, v, w — перемещения частицы по осям, и', v', w' — соответственные скорости.

функции [j_x, \iy, pz могут быть названы токами энергии по осям прямоугольных координат х, у, z.

Отыщем соотношение между током энергии р_а через какую-нибудь бесконечно малую площадку а внутри тела и токами \i_x, [>_у, p_z. G этой целью вообразим себе элементарный тетраэдр, вершина коего находится в какой-нибудь точке тела, координаты которой суть х, у, z, три ограничивающие плоскости параллельны осям координат, а четвёртая есть бесконечно малая площадь о. Выражение (9) упомянутой статьи, представляющее сохранение энергии в упругом теле, справедливо для произвольно взятой его части, причём тройные интегралы должны быть распространены на её объём, двойные— на её поверхность. Относя выражение (9) к элементарному тетраэдру, мы находим, заменяя 1и, 8и, 8“> через и' v' w'\

Вообразим себе в какой-нибудь точке M тела линию I, делающую с осями координат углы, коих косинусы суть

Рж P?; Рг /0\

Докажем, что через всякую элементарную площадку, проведённую в точке M параллельно линии I, энергия не передаётся; каждая такая площадка, так сказать, непроницаема для энергии. Воображая себе в точке M линию s, перпендикулярную к I, мы должны доказать, что ток энергии через весьма малую площадку, перпендикулярную к линии s, будет

Если a, ß, у суть косинусы углов, делаемых линией s с осями координат, то по условию перпендикулярности линий Z и s

Но по выражению (6) это есть не что иное, как p_s. Следовательно,

что и требовалось доказать. Воображая себе в точке M бесконечно тонкий и бесконечно короткий цилиндр, параллельный линии I, мы заключаем из предыдущего,

что через боковую поверхность цилиндра не будет передаваться энергия. Объёму, заключённому внутри цилиндра, энергия будет передаваться (входить) через одно основание цилиндра, а отдаваться (выходить) смежным частям — через другое основание. Направление оси этого цилиндра, или направление, определяемое косинусами (8), я назову направлением движения энергии в точке M . Количество движущейся энергии в точке М, или ток энергии через площадку, перпендикулярную к линии l и проходящую через точку М, будет

Величина Q есть величина полного тока энергии в данной точке М . Эти выводы не зависят, очевидно, от частной формы (2) токов энергии.

Преобразуем уравнения движения частиц упругого тела в ортогональные координаты, причём одно из семейств ортогональных поверхностей образуется статическими поверхностями, соответствующими искомому движению в теле данной формы и с данными условиями на поверхности. Из выражений трёх токов энергии только одно, представляющее ток p_s по динамической линии, будет отлично от нуля; остальные два выражения будут нули.

Для каждого элемента поверхности тела должны быть даны три условия, чтобы задача о движении его частиц была совершенно определённа. Обыкновенно такими условиями даются: величина давления или натяжения для каждого момента времени и два угла, определяющие их направление. Вместо этих условий могут быть даны величины токов энергии \>_х, р_у, p_z для каждого элемента поверхности или, что всё равно, полная величина тока энергии через элемент поверхности

Так как знание трёх токов энергии по трём данным направлениям достаточно для определённости задачи, то, задавшись наперёд видом ортогональных поверхностей р, р!, р₂ и величиной p_s на поверхности, мы будем иметь все необходимые условия для изыскания движений, для которых линии пересечения данных поверхностей р_1; р_а суть динамические линии.

Бесконечно тонкий объём, ограниченный бесконечно близко лежащими динамическими линиями, я назову динамической нитью. Воображая себе нить произвольной формы, предполагая, что её частицы не имеют конечных движений, мы можем ставить вопрос о форме движений, при которых энергия не отдавалась бы боковыми частями нити, словом, чтобы нить была динамической нитью. Здесь достаточно знания величины p_s на всём протяжении нити и на её концах. Мы можем также дать p_s только для концов нити и величину давления на её боковой поверхности. Наконец, если дана величина p_s для каждой точки тела, то вместо рассмотрения явлений в целом теле мы можем ограничиться изучением явлений в динамической нити.

Параметр псевдостатйческих поверхностей означим буквой р, а псевдодинамические линии — буквой s, причём

Пусть р, р₁₍ р₂ будут параметры ортогональных поверхностей и

R, R_lt R₂ суть перемещения частицы упругого тела по нормалям s, s_lt s₂ к поверхностям р, р_ъ р₂.

Умножая выражения (15) соответственно на скорости частиц R', ri, R'₂, на элемент объёма d<a и интегрируя по всему протяжению тела, мы найдём уравнение сохранения энергии во всём теле. Выделяя интеграцией по частям из тройных интегралов, входящих в это уравнение, двойные, относящиеся к поверхности, под-интегральная функция этих последних будет иметь вид:

Ортогональные поверхности p, p_j( p₂ я определю под тем условием, чтобы p_Sl, p_S2 были нулями. Найдём:

Выражения (18) дают нам возможность раскрыть некоторые общие отношения формы псевдодинамических

линий к форме частичных движений. Умножая выражения (18) соответственно на

Если перемещения не сопровождаются изменением плотности, т. е. если 6 = 0, то, так как p_s по первому соотношению (18) не равно нулю, мы должны иметь по (19) и (20):

Первое из этих условий показывает, что перемещения, совершающиеся по направлению псевдодинамических линий, всегда соединены с изменением плотности. Если плотность ?ie изменяется, то перемещения происходят в плоскостях, касающихся псевдостатических поверхностей. В последнем случае из условий (18) остаётся только одно первое.

откуда, означая через Ф некоторую функцию от р, р_г, р. и времени,

Следовательно, при 6 = 0 перемещения, совершающиеся по линиям кривизны псевдостатических поверхностей,

Предположим, что по одной из пиний кривизны псевдостатических поверхностей не происходит движения; пусть, например, R'z = 0. Тогда соотношения (19) и (20) дают:

Если в какой-нибудь момент времени R'₂~0 и Н_г не равно H, то для того же момента должно существовать условие:

всякий раз, когда ее слагающая по нормали к поверхности р₂ обращается в нуль.

Пусть Л = 0 и /?j = 0; следовательно, существует одно перемещение R_z. Мы находим из выражений (18):

д, = ^, А = 0, 6 = 0, (28)

Мы должны отыскать величину R₂, удовлетворяющую выражениям (29), (31) и условиям, данным на поверхности упругого тела. Последние мы оставим неопределёнными. Для нас важно открыть условия для вида псевдостатических поверхностей, которые должны вытечь из совместного удовлетворения приведённых выше уравнений. Пусть

В₂ = е^и, (32)

где а—постоянное, и есть функция одних координат. Означая через ц> и u две функции, имеем из (29):

Так как ср есть функция одних p и р₂, то первый член предыдущего выражения не должен зависеть от pj. Мы удовлетворим этому условию, полагая в выражениях (34) и (36)

где ? и v) суть обозначения функции на — постоянное или функция одного ,-. Следовательно,

откуда следует, что дифференциальный параметр первого порядка псевдостатических поверхностей не должен зависеть от параметра той ортогональной поверхности, по нормали к коей нет колебаний, т. е. кривизна этой поверхности по псевдодинамической линии равна нулю. Следовательно, движения по обеим линиям кривизны возможны в том только случае, если H не зависит ни от р_ь ни от р₂. В этом случае H есть функция одного р, и псевдостатические поверхности суть поверхности волновые (см. статью “Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости”, Математический сборник, т. V).

где / есть действительный или мнимый коэффициент. Окончательные условия для псевдостатических поверх-

ностей в нашем случае будут, следовательно:

мы удовлетворим всем условиям, причём функции ср, ср₂, <j> остаются подчинёнными только условиям ортогональности. Здесь H есть функция одного р.

Рассмотрим частный случай. Пусть H_z = hi, из выражений (49) следует, что функции ср₂, <]>i не зависят от р_а, р_г, т. е. суть постоянные. Последнее из выражений (50) принимает вид:

где р, р_1; р₂ суть термометрические параметры сфер, конусов широты и меридиональных плоскостей; г есть радиус сферы, <р—широта, Л—долгота. Кроме того, имеем:

Вообразим себе в пространстве две бесконечно длинные, друг другу параллельные прямые А и А_г. Пусть расстояние между ними будет 2а и плоскость ху к ним перпендикулярна. Если одна из этих линий притягивает,

Ортогональные к ним цилиндрические поверхности с параметром v дают ,в пересечении с плоскостью ху круги, которые проходят через точки сечения прямых с плоскостью ху.. Уравнения этих кругов представляются формулой (145) упомянутой выше статьи.

Вообразим себе в среде постоянной упругости ортогональную систему, коей параметры суть

В среде может распространяться плоская волна с поперечными колебаниями В.^ и Л₂, которые будут по формуле (54):

Если же прямые А и А^ притягательные, то поверхности равного потенциала будут цилиндры р_ь ортогональные к плоскости ух и дающие в сечении с нею лемнискаты. Ортогональные к ним поверхности будут цилиндры р₂, проходящие через прямые А в. ai ts. дающие в сечении с плоскостью ух равносторонние гипер^ болы (см. Lame, Lecons sur les coordonees curvilignes), Вообразим себе в среде постоянной упругости ортогональную систему с параметрами

где S² имеет то же значение, как выше, и R представляет перпендикулярное расстояние точки т от линии О,

лежащей в одной плоскости с линиями А, А_г и проходящей посередине между ними.

В среде возможна плоская волна с колебаниями Н_ъ R₂, определяемыми по формуле (54):

Амплитуды колебаний (а) и (Ь) становятся бесконечно большими на линиях А, А±. Чтобы избегнуть этого случая, достаточно вообразить себе внутри среды две ограничивающие поверхности в форме двух прямых цилиндров, обнимающих линии А и А_г.

где X, Y, Z суть суммы производных по координатам от некоторых функций. Умножая эти выражения на скорости частиц и', v', w', на элемент объёма ал и интегрируя по всему объёму, занимаемому средой, мы выделим интеграцией по частям сумму членов, распространяющихся на поверхность среды. Эти члены будут иметь факторами скорости и', v', w', и их сумма представляет не что иное,.как ток энергии д., через элемент поверхности. Следовательно, мы всегда можем представить токи энергии в следующем виде:

Для тел постоянной упругости коэффициенты L, M, N не зависят от скоростей, и между ними существуют соотношения:

Для тел жидких коэффициенты L, M, N зависят от скоростей, и между ними существуют соотношения:

Для жидкости с трением L, M, N зависят от скорости, и между ними существуют соотношения (60).

Выражения (59) заключают в себе ещё целый ряд более общих случаев, из коих каждый представляет среду, обладающую известными физическими свойствами.

Составим неопределённые уравнения движения частиц среды, для которой имеют место выражения (59). Найденные нами уравнения будут, очевидно, типом неопределённых уравнений движения непрерывных сред природы.

Выражение закона сохранения энергии для всей среды будет по (59):

где —ЗР есть потенциальная энергия элемента.

Знак ~г в выражениях (58) представляет полную производную по времени; раскрывая эту последнюю

Если перемещения малы, то члены и' — и пр. отпадают, как, например, в случае упругого тела.

Умножая выражения (64) на 8и = и.'dt, §?; = v'dt, 8w = w"'dt, складывая и интегрируя по всему протяжению тела, находим:

С другой стороны, выражение (62) может быть представлено в виде:

Второй тройной интеграл выражения (67) целиком переходит в двойной интеграл по поверхности:

Отсюда заключаем, что второй тройной интеграл выражения (^8) получается интегрированием по частям выражения

где S есть часть, приходящаяся на поверхность, а V :есть ,— \ \ \ ÖPdo). Часть — S есть разность двойного

интеграла выражения (68) и двойного интеграла выражения (69). Следовательно,

p В случае движений весьма малых члены •—- могут быть

пренебрежены как величины второго порядка.

Найденные выше выражения дают нам возможность изыскивать среду, в которой движение энергии должно подчиняться данным законам.

Я приведу пример такого изыскания. Тепловые явления в телах твёрдых приписываются молекулярным движениям, а следовательно, молекулярным силам. Решим вопрос, возможно ли объяснить явления теплопроводности молекулярными движениями одной непрерывной среды, будет ли эта среда само твёрдое тело или проникающий его эфир?

Плотность энергии в каждой точке среды представляется произведением теплоёмкости при постоянном давлении с на плотность тела \> и температуру V. Токи энергии суть тепловые токи, и, означая через К коэффициент теплопроводности, имеем для изотропного тела:

Следовательно, в искомой среде токи энергии пропорциональны её производным по соответственным осям. Работа молекулярных сил, когда последние не зависят от скоростей частиц, должна быть полным дифференциалом; следовательно, L, M, N должны представляться линейными функциями производных первого порядка по координатам от перемещений и, v, w частиц среды. По малости молекулярных тепловых

., i² -.

движении член р — может оыть пренебрсжен относительно L, М, N. Производная от Э по какой-нибудь координате, например по х, получится, дифференцируя по х живую силу и прибавляя выражение — 8Р, в котором и', г', w' заменены через

где а, р, у суть постоянные и и_г, Uj, w\ суть функции одних координат. Выражения (75) будут заключать величины ли, $а, ycv, которые исключатся из них при помощи неопределённых уравнений движения (73), в коих левые части, вследствие соотношений (76), будут o?_vu, ß²pu> y^tv.

a²,jM, a^apu, a²pw исключатся при помощи неопределённых уравнений, которые будут заключать в себе суммы вторых производных от перемещений по координатам, когда в них будут подставлены величины L, M, N. Обращая внимание на то, что по условию все три направления, принятые за направления осей координат, имеют одинаковые физические свойства и изменение молекулярной работы должно быть полным дифференциалом, мы найдём для L, M, N следующие выражения:

В эти выражения входят одиннадцать постоянных коэффициентов. Выражение (78) и два подобных, соответствующих двум последним выражениям (75), должны тождественно удовлетворяться приведёнными величинами упругих сил. Приравнивая нулю в выражении (78) коэффициенты у вторых производных, не входящих во вторую часть, мы найдём следующие условия, означая через X, X_t два постоянных:

Первое из соотношений (80) содержит первые производные от перемещений по координатам. Приравнивая в нём нулю коэффициенты при одинаковых производных и обращая внимание на равенства (81), найдём:

Если а₁ не равно нулю, то последнее из этих выражений даст 1 = 0, что невозможно; следовательно, а_г и все равные ему коэффициенты суть нули. Вместо одиннадцати коэффициентов мы находим только один а, которому равны а„, Ъ₃, Ь_в, остальные коэффициенты суть нули.

Поэтому выражения (79) приведутся к форме:

где h есть дифференциальный параметр первого порядка от функции s.

Выражения (86) содержат одно только постоянное и несколько различных производных от s. Они не могут, следовательно, тождественно удовлетворяться, не давая в то же время условий для движения сверх тех, которые даются неопределёнными уравнениями движения.

Этот результат даст нам право сделать заключение, что соотношения (75) даже приблизительно не выполняются одной непрерывной средой. Объяснение тепловых явлений в телах твёрдых мы должны искать в молекулярных движениях по крайней мере двух взаимно проникающихся и воздействующих друг на друга сред.

Такая среда, в которой токи энергии были бы пропорциональны производным от живой силы, возможна.

Выражение (74) будет полным дифференциалом, и токи энергии будут пропорциональны производным от живой силы по соответственным координатам, если

Легко отыскать такие выражения для L, M, N, при которых о P = 0.

Выражения токов энергии, предложенные в статье “Уравнения движения энергии в телах” для некоторых случаев взаимодействия на конечных расстояниях, должны служить исходной точкой при изыскании сред, в которых они были бы возможны. Такое изыскание может быть произведено только при помощи формул настоящего параграфа.