В одной из своих монографий Врио и Буке отмечали: “Случай, когда можно интегрировать дифференциальное уравнение, в высшей степени редкие и должны рассматриваться как исключения. Но можно рассмотреть дифференциальное уравнение как определяющее функцию и заняться изучением свойств этой функции по данному дифференциальному уравнению”. Из самого дифференциального уравнения авторы предлагали извлекать информацию о той неизвестной функции, которая является его решением. Этот новый подход превращал все не решенные до сих пор дифференциальные уравнения в неисчерпаемый источник новых трансцендентных функций. К сожалению, не было примеров подобных открытий на этом заманчивом, многообещающем пути. Сами Врио и Буке продемонстрировали свой метод на известных эллиптических функциях, установив их основные свойства, которые уже были объектом исследования многих математиков.
Анри Пуанкаре, со студенческих лет находившийся под большим влиянием идей Врио и Буке, решил воспользоваться их рекомендацией, разработанным ими методом. Приняв в качестве определения искомой функции линейное дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами, он пришел к первому важному результату: функция, являющаяся решением такого уравнения, должна оставаться неизменной при дробно-линейных преобразованиях переменной величины, от которой она зависит. Это свойство функции сразу же позволяло отнести ее к разряду особого рода периодических функций, если пересмотреть и расширить понятие периодичности. Обычные периодические функции и двоякопериоди-ческие эллиптические функции остаются неизменными при простом прибавлении периода к их переменным величинам. Новая гипотетическая функция должна принимать одинаковые значения при более сложных, более общих операциях, произведенных над ее переменной. Подхватив и продолжив эстафету обобщения понятия периодичности, Анри уже в первых работах продемонстрировал свою склонность к широким научным обобщениям.
Чтобы построить эту трансцендентную периодическую функцию более высокого порядка, нужно было найти порождающую ее группу преобразований. В отличие от обычного словоупотребления математики называют группой не произвольное скопление каких-то объектов, а только такое, которое в некотором смысле аналогично множеству целых чисел. Как известно, сумма любых целых
чисел тоже является целым числом, то есть не выходит за пределы их множества. Причем от перестановки любого количества слагаемых результат сложения не меняется. Множество целых чисел включает в себя нуль, прибавление которого к любому числу не изменяет его. И, наконец, у каждого положительного целого числа имеется его антипод — такое отрицательное целое число, что их сложение дает в сумме нуль.
Подобные групповые свойства можно обнаружить не только у различных математических объектов — чисел, векторов, функций и так далее, но и у некоторых однотипных действий, преобразований, совершаемых над такими объектами. Так, совокупность всевозможных переносов периода вдоль оси времени, позволяющая построить простейшую периодическую функцию — синус или косинус, — составляет ее группу преобразований. В са-мом деле, два последовательных переноса (их сумма) равносильны одному переносу удвоенного периода и не меняют значения функции. Последовательность нескольких переносов можно совершать в любом порядке, функция все равно не изменится. Нулевым элементом этой группы можно считать отсутствие всякого переноса. Наконец, после каждого переноса периода по оси времени всегда можно совершить такой обратный перенос, который полностью его компенсирует, низводит до нуля. Такими же групповыми свойствами для эллиптической функции обладает совокупность переносов параллелограмма периода на плоскости.
Если новая функция относится к периодическим, для нее тоже должна найтись своя группа преобразований, свой “перенос” периода. Но дробно-линейному преобразованию переменной величины, при котором функция не меняет своего значения, соответствует весьма непростой “плоский период”: не параллелограмм, а какой-то криволинейный многоугольник. И это сразу затрудняет проблему нахождения такой группы преобразований. Не представляет труда выложить всю плоскость одинаковыми параллелограммами, плотно укладывая их один к другому, как паркет. Но как заполнить плоскость причудливыми фигурами, ограниченными неправильными криволинейными контурами, не оставляя просветов и обходясь без наползания, накладывания соседних фигур друг на друга? Пока не удастся решить этот вопрос, бессмыст ленно браться за поиски предполагаемой периодической
функции. Сначала нужно убедиться, что существуют преобразования, в совокупности составляющие группу, применяя которые к одному-единственному криволинейному многоугольнику можно получить соседние, плотно к нему примыкающие многоугольники, затем более удаленные, смежные с ними, и так до тех пор, пока вся плоскость не будет покрыта плотно сколоченной причудливой мозаикой без зазоров и без перекрытий. Только тогда можно быть уверенным, что, зная функцию на одном таком многоугольнике, на одном периоде, можно воспроизвести ее на всей плоскости.
На пути решения проблемы встала самостоятельная, сама по себе сложная и интересная задача: построить дискретные группы преобразований, обладающие рассмотренными выше свойствами. Но задачу удобнее было решать в несколько иной формулировке: разбить всю плоскость на бесконечное число плотно прилегающих друг к другу, но неперекрывающихся криволинейных многоугольников. От теории дифференциальных уравнений мысль Анри проделала сложный и прихотливый путь к чисто геометрической задаче. Это умение улавливать связь между, казалось бы, совершенно разнородными и далекими друг от друга вопросами математики, преодолевая разделяющие их огромные мысленные дистанции, пройдет через все творчество Пуанкаре.
Впоследствии Пуанкаре признавался, что возникшие трудности, возможно, остановили бы его, если бы не помощь, которую он нашел в совершенно другой математической теории — в неевклидовой геометрии. Задача была решена смелым и изящным способом.
Если плоскость, заполненную параллелограммами периода эллиптической функции, преобразовать в неевклидову плоскость, где параллельные прямые пересекаются, где царят законы необычной геометрии, то вместо прямых сторон параллелограммов получатся дуги, а вместо самих параллелограммов —• криволинейные многоуголь
1-ники. И эти многоугольники будут так же плотно пристыкованы, как сами параллелограммы. Все теоремы о покрытии обычной плоскости параллелограммами периода можно теперь переформулировать с учетом неевкли-Довости и получить искомые преобразования новой груп-йы. Эти преобразования тоже оказались простым переносом, только на неевклидовой плоскости. Открытые новые группы, неизвестные до этого времени математикам, Пуанкаре назвал фуксовыми в честь немецкого коллеги, мысль которого оказала на него столь плодотворное влияние.События теперь разворачивались со скоростью импровизации. Да это и была самая настоящая математическая импровизация, ибо каждая ступень на пути к цели таила в себе неожиданность и требовала мгновенной перестройки мышления на новые методы, изобретения новых, не испробованных еще подходов. Построив фуксовы группы, Анри приступил к следующему, не менее сложному этапу. Нужно было выяснить, существуют ли для этих групп такие функции, которые не изменяются при найденных преобразованиях. Неизвестно почему, но Пуан~ каре сначала исходил из ошибочного убеждения, что таких функций быть не может. В течение двух недель тщетно пытался он доказать свой отрицательный вывод. И только одна бессонная ночь разом перевернула все его представления. Но лучше предоставим слово самому Пуанкаре:
“...Каждый день я садился за рабочий стол, проводил за ним час или два, исследуя большое число комбинаций, и не приходил ни к какому результату. Однажды вечером, вопреки своей привычке, я выпил черного кофе; я не мог заснуть; идеи теснились, я чувствовал, как они сталкиваются, пока две из них не соединились, чтобы образовать устойчивую комбинацию. К утру я установил существование одного класса этих функций, который соответствует гипергеометрическому ряду; мне оставалось лишь записать результаты, что заняло несколько часов”.
Открытие пришло к нему нежданно, как внезапное озарение, как награда за долгие муки поисков и сомнений.
Восьмидесятый год оказался весьма плодотворным для Пуанкаре. Идеи буквально осаждали его, преследовали, являясь порой в самые неожиданные моменты, застигая его врасплох. Летом Анри покидает Кан, чтобы примкнуть к традиционной геологической экскурсии по Нормандии, организованной Горной школой для своих питомцев. То ли ему захотелось отдохнуть после первого года напряженной преподавательской деятельности, то ли его влекли к себе воспоминания о том веселом времени, когда он сам, будучи студентом, участвовал в подобных экскурсиях. Только вскоре он кочует по краю с веселящейся компанией студентов-горняков. Здесь-то и настигает его еще одно озарение, о котором он поведал впоследствии:
“Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея, без всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить фуксовы функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я не сделал проверки, так как, с трудом сев в омнибус, я тотчас же продолжил начатый разговор, но я уже имел полную уверенность в правильности сделанного открытия. По возвращении в Кан я на свежую голову и для очистки совести проверил найденный результат”.
Словно мощные подземные толчки, эти внезапные интуитивные прозрения свидетельствуют о нетерпении сдерживаемого в глубине творческого заряда его мысли, предвещая грядущие бурные события. В феврале 1881 года в
“Comptes rendus” l появилась первая заметка Пуанкаре о фуксовых функциях, из которой уже следует, что автору полностью ясен план всей теории, заполнившей впоследствии целый том в его собрании сочинений. Первая вспышка огненного облачка над вершиной оживающего вулкана, вслед за которой хлынул обильный, напористый поток лавы, удививший всех своей энергией и неистощимостью. Это было настоящее научное извержение, как оценили его некоторые математики. За два года Пуанкаре опубликовал серию из 25 заметок и нескольких обширных мемуаров. Эти работы были первыми его систематическими научными публикациями, если не считать докторской диссертации и статьи, написанной еще в Политехнической школе.Открытые им новые функции Пуанкаре мог бы назвать как угодно, скажем, ультраэллиптическими, гиперэллиптическими и так далее. Ведь ои прекрасно осознавал и неоднократно подчеркивал их обобщающий характер по отношению к эллиптическим функциям. Но Пуанкаре называет их фуксовыми. Им .движет уважение и признательность к математику, который первым указал на возможность таких функций, хотя даже не доказал их существование. Поскольку работа Фукса дала столь мощный импульс его творческому воображению, он, не задумываясь, делит с ним славу своего открытия.
Такое великодушие пришлось не по нраву некоторым его соотечественникам, породив у них не только изумление, но и возмущение. Жгучий, болезненно чуткий патриотизм французов, не на шутку разыгравшийся после неудачного исхода франко-прусской войны, мешал им по достоинству оценить благородный поступок молодого ученого. Его достижение они воспринимали как научную победу над своими вчерашними врагами, “победу без кровопролития”, как вспоминал об этом Поль Ап-пель. По свидетельству Жака Адамара, в то время говорили, что фуксовы функции “разгромлены” в серии блестящих мемуаров Пуанкаре. Сама военная терминология, применявшаяся, как только речь заходила об этом открытии, ярко обрисовывает ту политическую окраску, которую ему старались придать. Даже много позднее, ког^ да Анри Пуанкаре вступал во Французскую академию, Ф. Массой в своем приветственном докладе с удовольствием вспоминал: “Это открытие было для французской науки настоящей победой. Вот уже несколько лет немецкие геометры кружили вокруг дома, не находя двери. Вы ее обнаружили и в то же время открыли. Это было “похищение”, как говорили про то, что вы сделали с Германией...” Разве могли шовинистически настроенные французские круги одобрить широкий рыцарский жест Пуанкаре-победителя, как бы возвращающего свое открытие менее удачливому немецкому коллеге? Неизвестный острослов сочинил по этому поводу эпиграмму, звучавшую примерно так:
У Фукса одно лишь желание есть
— Присвоить чужого открытия честь.
Автор эпиграммы был, конечно, несправедлив и к Фуксу, и к своему соотечественнику, хотя имя Пуанкаре даже не упоминалось. Но не мог же Анри показывать всем и каждому письма Фукса и черновики своих писем, чтобы унять злые толки! Впрочем, этот общественный протест, как мы вскоре убедимся, его нимало не смутил. Наоборот, он укрепился в своей решимости следовать в подобных вопросах только ведениям своей совести, своему пониманию чести ученого '.
Первые работы Пуанкаре сразу же привлекли к нему внимание европейских математиков, заставили их пристально следить за его уверенными шагами. Следить и удивляться. Маститый немецкий математик Карл Вей-ерштрасс в письме к своей любимой ученице Софье Ковалевской пишет: “Обратила ли ты внимание на последние работы Пуанкаре? Это, во всяком случае, крупный математический талант. Вообще, теперь во Франции молодое поколение математиков с большим успехом стремится к новым достижениям и в области анализа, единственным представителем которого после отхода Лиувил-ля долгое время оставался Эрмит. Исследования, начатые Пуанкаре в связи с работами Фукса, Шварца и Клейна, во всяком случае, приведут к новым аналитическим трансцендентным, даже если он еще не находится на верном пути”.
1
“Comptes rendus” — сокращенное название наиболее популярного во Франции научного журнала “Comptes rendus de Асаdemie des Sciences de Paris”, выходящего еженедельно и публикующего краткие доклады, представленные в Академию наук.