5. Математическая модель квазиупругого эфира

Еще в 1839 году на основе обычной теории упругости МакКулаг развил представления об эфирной среде, которые, как оказалось, хорошо согласуются с теорией электромагнитных и оптических явлений Д. Максвелла. Ниже уравнения МакКулага приводятся, в основном, в изложении Арнольда Зоммерфельда [12].

Рис. 10. Отношения между напряжениями и скручивающим моментом в <квазиупругом> теле.

В теории сплошных сред обычно рассматриваются перемещения, вращения и деформации. Упругое тело реагирует на деформации возникновением тензора упругих сил, причем деформации также описываются тензором. Теперь представим себе <квазиупругое> тело, которое невосприимчиво к деформациям сжатия-растяжения, но реагирует на деформацию кручения относительно абсолютного пространства. Так как такое кручение имеет характер антисимметричного тензора, мы можем представить напряжения, приложенные к сторонам элементарного куба в виде антисимметричного тензора. Запишем его в следующем виде

,

(12)

 где σ_ik = − σ_ki.

Cоотношения между поворотом и напряжениями отражены на схеме pис.10. Элементарный объем Δτ повернут на угол φ_z (стрелка вокруг положительного направления оси z, по правилу правого винта).

Чтобы осуществить такое скручивание, необходимо приложить момент силы вокруг z-оси:

где κ есть <модуль скручивания> квазиупругого тела. Этому моменту силы соответствуют два обозначенные на рисунке сдвигающие напряжения σ_xy и −σ_yx на x- и y-плоскостях, отложенных на осях x и y в положительных направлениях и антипараллельные напряжения на соответствующих плоскостях осей в отрицательных направлениях. Чтобы соблюсти соответствие между (12) и (13) мы должны получить

В итоге мы получаем момент, действующий на обеих х-плоскостях:

и момент на  двух y-плоскостях

также как и момент из уравнения (13).

Циклическая подстановка из (14) явно приводит к следующим выражениям:

Схему действия сил, приведенную на рис.10 можно представить как приложенную к бесконечно малой материальной точке, находящейся внутри некоего тела. Уравнения движения этого квазиэластичного тела можно написать по аналогии с известными из теории упругости уравнениями движения [53]. Составляя их, учтем инерцию (δ - масса единичного объема) и будем рассматривать только условно медленные движения. Кроме этого, мы должны отказаться от внешних сил (Р = 0). Тогда, с учетом (14) и (14а), получим

,

где u - смещение.

Последнее, циклически преобразованное и векториально записанное, представляет собой уравнение движения

(15)

Это уравнение можно отобразить иначе, через отношение между вектором смещения  и угловой скоростью . Это произойдет, если и здесь мы поменяем dφ/dt на ∂φ/∂t:

(16)

Из предположения несжимаемости среды, для значения , - угла поворота вектора смещения, добавим следующее условие:

div = 0, div = 0.

(17)

Как отмечает А. Зоммерфельд [12], система уравнений (15), (16) и (17) демонстрирует убедительную простоту и симметрию. Она имеет ту же форму, что и уравнения Д.Максвелла для пустого пространства.

Для более подробного исследования введем напряженность электрического поля , напряженность магнитного поля , коэффициенты пропорциональности α, β, размерность которых будет зависеть от выбора системы физических величин, в которых выражены  и , а также от знака перед зарядом и силой магнитного поля:

a)  = +α,  = β,

или

b)  = +α,  = β.

Тогда идентично уравнениям (15), (16) и (17), получим дважды:

div = 0,
	(18)
div = 0.

Введенные здесь сокращения ε₀, μ₀ называются диэлектрической и магнитной проницаемостью вакуума. В системе наших обозначений они будут даны через:

	(18a)
	(18b)

Их произведение независимо от выбора системы единиц (коэффициентов α, β). В обоих случаях это произведение будет равно:

(19)

Таким образом определенная величина С обозначает скорость распространения в вакууме. Обратим внимание на то, что С связано с модулем скручивания κ.

В весомом диэлектрике действуют такие же основные уравнения (18), как и в вакууме, только с измененными значениями ε, μ, вместо ε₀, μ₀. Но оба условия дивергенции существенно изменятся. Вместо div  = 0 должно быть

где B = μ - магнитная индукция.

Это приведет к тому, что скручивание среды будет определяться не величиной , но величиной В, что не создает никаких трудностей. С другой стороны, условие  = 0 перейдет в

где D = ε - электрическая напряженность, δ_е - пространственная плотность действующего электрического заряда. Так как теперь не , а определяет скорость тока  и константы ε, μ связаны с κ, δ, α, β, уравнения Д. Максвелла могут быть верными и здесь, в весомом диэлектрике.

В своей работе [12] А. Зоммерфельд пишет, что он далек от того, чтобы этой <модели эфира> придать какой-либо физический смысл. Вместе с этим, само включение раздела о модели квазижесткого эфира в его капитальный труд <Механика деформируемых сред>, последнее издание которого выпущено в 1978 году, весьма знаменательно.

Наиболее убедительно верность и адекватность концепции МакКулага демонстрирует деформация эфирной среды, возникающая вокруг проводника с током, рис.9. Скручивающая деформация образует ряд вложенных друг в друга концентрических поверхностей. Каждая из этих поверхностей является эквипотенциалью, в пределах которой напряженность магнитного поля обладает одинаковой величиной.

Наше положение (см. п.6 раздела 3) о том, что эфирная среда в известной степени связана (закреплена) большими по астрономическим масштабам физическими массами соответствует ранее выдвинутой МакКулагом концепции. По нашему мнению, напряжения в эфирной среде описываются всеми видами тензоров, в которых диагональные члены, как и в (12) равны нулю. Это означает, что в эфирной среде могут существовать деформации формоизменения, т.е. скручивания, кручения и сдвига.

Причем, здесь и далее под деформацией скручивания мы будем понимать деформации, возникающие при приложении момента сил, когда прямая линия (ось) его приложения проходит через тело, а само тело закреплено на бесконечности (рис.10). Деформация кручения возникает тогда, когда тело закреплено между двумя параллельными плоскостями и одна из плоскостей поворачивается, оставаясь параллельной первой, на некоторый угол относительно другой. Деформация сдвига происходит в теле, закрепленном между двумя параллельными плоскостями, причем одна плоскость сдвигается параллельно первой по прямой линии.