Attenenti alia

GALILEO GALILEI LINСEO,

Filosofoe Matematico primario del Sereniffimo Grand Ducadi Toscana.

Appreslbe Ji Elfevirii. м. d. c. xxxviti.

ОТРАСЛЕЙ НАУКИ

С а г р. Мы замечаем в маятниках, что каждый из них может описывать дугу и в шестьдесят градусов, и в пятьдесят, и в тридцать, и в восемь, и в четыре, и в два градуса и т. д.; если оба маятника описывают дугу в шестьдесят градусов, то они проходят ее в одинаковое время; на прохождение дуги в пятьдесят градусов и тому и другому маятнику необходим одинаковый промежуток времени, равно как для прохождения дуг в тридцать градусов, десять градусов и всех других; отсюда заключаем, что скорость свинцового маятника, описывающего дугу в шестьдесят градусов, одинакова со скоростью пробкового, описывающего такую же дугу, что скорости обоих маятников, описывающих дуги в пятьдесят градусов, также равны между собою, и что то же имеет место для всех других дуг. Однако мы не утверждаем, что скорость движения маятника при дуге в шестьдесят градусов равняется скорости его при дуге в пятьдесят или тридцать градусов и т. д.; скорость всегда меньше при меньших дугах; это следует с очевидностью из того факта, что одно и то же тело употребляет столько же времени, чтобы пройти большую дугу в шестьдесят градусов, сколько для того, чтобы пройти дуги меньшие—в пятьдесят или десять градусов; одним словом, оно проходит дуги различной величины в один и тот же промежуток времени. Итак, движение свинца и пробки постепенно замедляется по мере уменьшения описываемых дуг; но это нисколько не меняет того, что тела эти сохраняют одинаковую скорость при прохождении дуг одинакового размера. Я говорю все это для того, чтобы уяснить себе, верно ли я понял изложение синьора Сальвиати, а вовсе не с целью дать синьору Симпличио объяснения более убедительные, нежели те, которые уже даны синьором Сальвиати. Изложение последнего, как всегда, совершенно ясно и позволяет не только разбираться в вопросах, кажущихся темными, но и разрешать действительные загадки природы путем рассуждений, наблюдений и опытов простых и всем доступных. Последнее обстоятельство (как я слышал кое от кого) дало повод одному из ученых профессоров придавать относительно мало-цены его новым теориям как слишком низким и построенным на обычных и общеизвестных основаниях, как будто наиболее замечательная и ценная сторона опытных наук не заключается как раз в том, что они проистекают и развиваются именно из общеизвестных, всем понятных и неоспоримых принципов! Но мы будем с радостью продолжать пользоваться и далее этой легкой пищей. Полагая, что сомнения синьора Симпличио рассеялись и что он принимает за доказанное, что тяжесть, присущая движущимся телам, не играет никакой роли в различии скорости их движения, так что все тела, поскольку это зависит от тяжести, движутся с одинаковою скоростью, прошу вас сказать теперь, синьор Сальвиати, чем вы объясняете чувствительную и Заметную разницу в скорости движения и что вы ответите на возражение синьора Симпличио, которое и я, со своей стороны, поддерживаю, утверждая не только, что пушечное ядро падает заметно быстрее свинцовой дробинки, но что в некоторых более плотных средах большие предметы проходят за один удар пульса пространство, которое другие предметы из того же вещества, но меньшие, не проходят ни в час, ни в четыре часа, ни в двадцать часов; таковы, например, камни и мелкий песок; если последний столь тонок, что мутит воду, то в течение нескольких часов он опускается едва на два локтя, тогда как камешек даже небольшой величины проходит это расстояние за один удар пульса.

С а л ь в. То, что среда замедляет движение тел тем сильнее, чем менее их удельный вес, я уже объяснил, показав, что это происходит от уменьшения их веса; для того же чтобы понять, как одна и та же среда может столь различно воздействовать на скорость движения [тел из одного и того же вещества и одинаковой формы, отличающихся друг от друга только величиною, необходшчо поискать более тонкого объяснения; здесь недостаточно признания причиною увеличение г^змеров тела, благодаря которому среда оказывает большее сопротивление и сильнее замедляет движение. Причиною настоящего явления я считаю шероховатость и пористость тел—свойства, которыми неизбежно и одновременно обладает поверхность тел; шероховатость тел вызывает при движении их в воздухе или другой среде трение; доказательством этого служит шум тела, хотя бы оно было возможно гладким, когда оно быстро прорезает воздух; мы слышим не только просто шум, но и свист и шипение, если тело имеет заметную впа-дииу или выступ. При быстром вращении на токарном станке каждое, даже круглое тело поднимает легкий ветер. Но чего же более? Разве мы не слышим

сильнейших ударов и раскатов грома, сопровождающих молнию, падающую на землю с огромной быстротой? Звук свиста делается все ниже по мере того, как замедляется скорость движения хлыста, которым мы размахиваем; это доказывает, что шероховатые частицы поверхности, как бы малы они ни были, сталкиваются с воздухом. Поэтому я не могу сомневаться в том, что при опускании в жидкости тела испытывают трение, замедляющее быстроту их движения, и при том в тем большей степени, чем больше их поверхность, т. е. тел малых в большей степени, чем тел значительных размеров.

С и м п л. Остановитесь, пожалуйста, потому что я начинаю сбиваться. Я понимаю и признаю, что трение среды о поверхность тела замедляет движение, и замедление это, ceteris p aribus, тем значительнее, чем больше поверхность; но для меня непонятно, на каком основании вы называете поверхность малых тел большею. Кроме того, если, как вы утверждаете, большая поверхность должна испытывать и большее замедление, _чт0 большие предметы должны были бы погружаться медленее, чего на самом деле нет; это затруднение легко разрешить, приняв, что хотя большее тело имеет и большую поверхность, но зато оно имеет и больший вес, который и преодолевает трение поверхности относительно легче, чем это делает меньший вес малого тела, почему скорость большего тела и не становится меньшею. Но я г:е вижу причины, которая должна была

бы изменить равенство скорости движения тела, так как по мере уменьшения веса, вызывающего его движение, уменьшается и поверхность, замедляющая последнее.

С а л ь в. Отвечу сразу на все то, что вы мне возразили. Вы утверждаете и признаете, синьор Симпличио, что когда у одного из двух движущихся тел равных, сделанных из одного вещества и имеющих одинаковую форму (которые, несомненно, должны и двигаться с одинаковою скоростью), уменьшаются в одинаковой степени как вес, так и поверхность (при сохранении подобия формы), то скорость движения уменьшенного тела не должна уменьшаться?

С и м п л. Мне кажется, что таково должно быть следствие, раз мы признаем вашу доктрину, что больший или меньший вес сам по себе не может ускорить или замедлить движения.

С а л ь в. Я подтверждаю последнее, признавая и ваше положение, из которого, мне кажется, вытекает как следствие, что если вес уменьшается в большей степени, нежели поверхность, то движение тела замедляется и притом тем значительнее, чем больше уменьшение веса тела по сравнению с уменьшением его поверхности.

С и м п л. Против этого я не имею возражений.

С а л ь в. В таком случае заметьте, синьор Симпличио, что невозможно в равной мере уменьшить поверхность и вес твердого тела, сохраняя подобие его формы. Так как совершенно ясно, что уменьшение веса происходит пропорционально уменьшению объема, то всякий раз, как объем уменьшится более, нежели поверхность (при сохранении подобия формы), и вес уменьшится в большей степени, нежели поверхность. Но геометрия учит, что отношение объемов подобных тел больше, нежели отношение их поверхностей, что для большей наглядности я поясню на следующем примере. Представим себе куб, ребро которого равно двум дюймам, так что каждая из граней содержит четыре квадратных дюйма, а все шесть граней, т. е. вся его поверхность, содержит, таким образом, двадцать четыре квадратных дюйма. Предположим, теперь, что куб этот разрезан на восемь маленьких кубиков; ребро каждого из последних будет равно одному дюйму, каждая грань—одному квадратному дюйму, вся же поверхность—шести квадратным дюймам, тогда как поверхность большего куба равнялась двадцати четырем; квадратным дюймам. Теперь вы видите, что поверхность малого кубика составляет четвертую часть поверхности большего (отношение шести к двадцати четырем), в то время как объем его уменьшился до одной восьмой большего. Объем, а вместе с ним и вес уменьшились, следовательно, в большей степени. Если вы разделите теперь малый кубик еще на восемь частей, то поверхность нового кубика будет содержать полтора квадратных дюйма, что составит всего одну шестнадцатую часть всей поверхности первоначального куба, объем же его будет равен лишь одной шестьдесят четвертой чисти того же куба. Вы видите, что путем всего лишь двух делений мы уменьшили объем в четыре раза значительнее, нежели поверхность; если же путем последовательных делений мы дойдем до раздробления первоначального тела на частицы, образующие мельчайший порошок, то найдем, что вес этих мельчайших атомов уменьшился в сотни и сотни раз значительнее, нежели поверхность. То, что я показал вам сейчас на примере куба, происходит и со всякими другими подобными друг другу телами, отношение между объемами которых равняется полуторному отношению их поверхностей. Итак, вы видите, насколько значительнее возрастает сопротивление от соприкосновения поверхности со средой у тел малых по сравнению с большими. Если мы прибавим к Этому, что шероховатость поверхности мельчайших порошкообразных частиц едва ли меньше, чем тел больших и хорошо отполированных, то найдем, сколь необходимо, чтобы среда, расступающаяся и дающая проход телу при столь малом давлении, была совершенно жидкою и лишенною сопротивления. Поэтому, синьор Симпличио, я не заблуждался, когда говорил, что поверхность малых тел больше по сравнению с поверхностью тел больших.

Симпл. Я совершенно убежден; и поверьте мне, что если бы мне пришлось начать вновь свое обучение, то я последовал бы совету Платона п принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное только то, что вытекает как следствие из доказанного.

Сагр. Мне чрезвычайно понравились вайи суждения. Но ранее, чем мы двинемся дальше, я хотел бы как следует уяснить себе термин, для меня совершенно новый. Именно: вы сказали, что подобные тела находятся в полуторном отношении к их поверхностям; хотя я знаю предложение и доказательство того, что поверхности подобных тел относятся между собою, как квадраты сторон, и друюе предложение, что объемы тел относятся между собою, как кубы сторон, но предложения, касающегося отношения между телами и их поверхностями, мне, насколько я помню, никогда не приходилось встречать.

С а л ь в. Самый вопрос ваш содержит уже в себе ответ и разъясняет всякое сомнение. Если одна величина втрое больше, а другая—вдвое больше одной и той же величины, то не является ли отношение между ними равным полутора? Конечно, является. А так как поверхности находятся в двойном отношении к линиям, а объемы—в тройном, то не можем ли мы сказать, что объемы тел находятся в полуторном отношении к поверхностям?

С а г р. Я вполне понял. Если у меня и остались некоторые вопросы в связи с предметом, о котором мы говорили, то я полагаю, что, занявшись ими сейчас, мы еще более уклонились бы в сторону от нашей главной темы, которой я считаю различные случаи сопротивления тел излому. Поэтому не полагаете ли вы, что нам следует вернуться к началу нашей беседы и заняться основным вопросом?

С а л ь в. Вы совершенно правы, синьор, но различного рода вопросы, затронутые нами, отняли у нас столько временя, что мы мало подвинемся вперед, если займемся сегодня основным вопросом, требующим многих геометрических доказательств, к которым необходимо отнестись с особым вниманием. Поэтому я полагаю, что нам лучше будет отложить наше собеседование до завтра, как но причине, только что упомянутой, так и потому, что я мог бы в этом случае принести листки с изложенными в должном порядке теоремами и проблемами, относящимися к данному предмету; привести их в надлежащем порядке на память мне было бы затруднительно.

Саг р. Я соглашаюсь с вашим предложением тем охотнее, что это даст возможность закончить нашу сегодняшнюю беседу выяснением некоторых вопросов, возникших у меня в связи с только что обсуждавшимся предметом. Первый из них следующий: может ли сопротивление среды быть достаточным для того, чтобы отнять ускорение у тел из весьма плотного вещества, тяжелых и обладающих сферической формой? Говорю сферической, так как выбираю форму с наименьшей поверхностью, следовательно, и наименее подверженную замедляющему воздействию. Другой вопрос касается маятников и распадается на две части, а именно; во-первых, действительно ли все маятники—большие, средние и совсем маленькие—совершают колебания в совершенно одинаковые промежутки времени, и, во-вторых, какое отношение существует между временем качания тел, подвешенных к нитям различной длины?

С а л ь в. Вы предлагаете прекрасные вопросы, но я сильно опасаюсь, как бы, начав разбирать один из них, мы, как это часто случается, не нашли, что из него можно вывести много интересных и новых следствий, для освещения которых не хватит остатка нынешнего дня.

С а г р. Если они столь же интересны, как предыдущие, то я охотно посвящу им столько же дней, сколько часов остается сегодня до полуночи. Надеюсь, что и синьор Симпличио будет не прочь от их обсуждения.

С и м п л. Конечно, нет, особенно если дело будет касаться таких вопросов естествознания, относительно которых мы лишены мнения и учений других философов.

С а л ь в. Приступим в таком случае, к первому вопросу. Я утверждаю без малейшего колебания, что не может быть шара столь большого и столь тяжелого, чтобы сопротивление среды, хотя бы последняя и была весьма тонкой, не уменьшило ускорения, так что при продолжении движения последнее не стало, наконец, равномерным. Ясные доводы в пользу такого положения дают нам следующие опыты. Какую бы скорость ни было способно приобрести падающее

тело при продолжении своего движения и как бы ни было, вообще, велико -движение, которое могут сообщить телу внешние силы, не может случиться, чтобы тело не восприняло и не обнаружило сопротивления среды. Пусть, например, пушечное ядро, падающее в воздухе с высоты четырех локтей, приобретает десять градусов скорости и в этот миг погружается в воду; если бы сопротивление воды не могло производить воздействия на ядро, то последнее продолжало бы двигаться ко дну с возрастающей или по крайней мере прежней скоростью. Между тем, мы видим, что Этого не случается: вода, глубиною хотя бы всего в несколько локтей, задерживает и ослабляет движение так, что дно реки или озера получает от ядра лишь легкий удар. Совершенно ясно, что та скорость, которую вода в состоянии упичтожить на коротком протяжении, не может сохраниться при движении до глубины в тысячу локтей. Каким образом можем мы допустить, что при движении на тысячу локтей приобретается ускорение, которое отнимается при движении на четыре локтя? Но пойдем далее: не видим ли мы, что пушечное ядро, обладающее огромным импульсом при выстреле из орудия, настолько ослабляется в своем движении несколькими локтями воды, что судно получает удар, не наносящий ему ровно никакого вреда? Даже сам воздух, столь тонкий и податливый, может уменьшать скорость падающего тела, хотя бы и весьма тяжелого, в чем можно убедиться на следующем опыте. Если с вершины очень высокой башни мы выстрелим вниз из аркебуза, то пуля вонзится в землю на меньшую глубину, чем если мы выстрелим из того же аркебуза с высоты четырех-шести локтей от поверхности: отсюда ясно, что скорость, с которой пуля вылетает из дула ружья на вершине башни, уменьшается при движении вниз к земле. Поэтому и падения с огромной высоты будет недостаточно, чтобы придать телу ту скорость, которой его лишает сопротивление воздуха, каким бы образом она ни была сообщена телу. Точно так же разрушение, производимое в стене пушечным ядром, выпущенным из полевого орудия—ко-лубрины—с расстояния в двадцать локтей, я полагаю, не может быть произведено таким же ядром при отвесном свободном падении его с какой бы то ни было большой высоты. Поэтому я думаю, что ускорение естественного движения тела, вышедшего из состояния покоя, имеет свой конец вследствие возрастающего сопротивления среды, которое, в конце концов, делает движение равномерным, постоянно поддерживая его равномерность.

С а г р. Подобные опыты кажутся мне действительно весьма доказательными; противник мог бы разве только оспаривать, что те же явления будут наблюдаться и с телами огромного размера и веса, и утверждать, что пушечное ядро, падающее, например, с Луны или из верхних слоев атмосферы, произведет удар более сильный, нежели ядро, выпущенное из дула орудия.

С а л ь в. Я не сомневаюсь в том, что можно представить много возражений и что не все может быть разрешено опытным путем. По поводу вашего замечания, можно, однако, отметить следующее: весьма вероятно, что тяжелое тело при падении с любой высоты приобретает, достигая земли, такой импульс, какой требуется, чтобы поднять его на ту же высоту; Это ясно видно на примере достаточно тяжелого маятника, который, будучи отклонен от отвеса на пятьдесят или шестьдесят градусов, при падении развивает скорость и усилие, достаточные для поднятия его на такую же точно высоту, если не считать той небольшой потери, которая обусловливается сопротивлением воздуха. Чтобы поднять пушечное ядро на такую высоту, при падении с которой на землю оно разовьет такой же импульс, каким оно обладало при выходе из дула орудия, достаточно выстрелить из этого орудия отвесно вверх; при этом можно будет убедиться, что ядро произведет при своем падении такое же действие, как при выстреле с близкого расстояния. Разница в эффекте, думается мне, не будет особенно значительной; замечу, однако, что скорость, которой ядро обладает при выходе из дула орудия, такова, что достигнуть ее при свободном падении, хотя бы и с очень большой высоты, телу будет невозможно вследствие сопротивления воздуха.

Перехожу теперь к другим вопросам, связанным с маятником,—теме довольно сухой по мнению многих, особенно же философов, занимающихся исследованием глубоких проблем природы. Я, однако, не хочу пренебречь этой темой, следуя примеру Аристотеля, который поражает меня более всего именно тем, что нет, кажется, ни одного достойного внимания явления, мимо которого он прошел бы, не коснувшись его. Поэтому, побуждаемый вашею любознательностью, синьоры, я думаю сообщить вам некоторые свои соображения из области науки. Эта благодарная тема была предметом исследования многих, в том числе и самого Аристотеля, и содержит весьма много интересного. Я надеюсь, что заслужу ваше одобрение, если при помощи простых и убедительных опытов объясню вам чудесные явления из области звуков.

Сагр. Я не только выражу одобрение, но скажу, что этим вы исполните мое особое желание. Обращаясь со всякими музыкальными инструментами и много размышляя о созвучии, я часто поражался и оставался в полном недоумении, почему одно мне нравится и кажется более приятным, нежели другое, а иное, наоборот, не только не нравится, но представляется крайне неприятным. Общеизвестная проблема о двух натянутых одинаково звучащих струнах, по которой, когда звучит одна струна, другая также приходит в колебание и резонирует, для меня также несовсем ясна, равно как и формы созвучий и многое другое.

С а л ь в. Посмотрим, не сможем ли мы извлечь какой-либо пользы из наших маятников для решения и Этих вопросов. Что касается первого пункта, а именно, правильно ли, что один и тот же маятник совершает

все свои качания—большие, средние и малые—в совершенно одинаковые промежутки времени, то я сошлюсь на данные нашего Академика, который доказал, что тела, спускающиеся по хорде, соответствующей любой дуге, употребляют для этого одинаковый промежуток времени, будь соответствующая дуга в сто восемьдесят градусов (а хорда—диаметром), сто или шестьдесят градусов, два градуса, полградуса или, наконец, четыре минуты величиною, если предположить, что в конечной низшей точке все эти теда достигают горизонтальной плоскости. Далее, тела, опускающиеся по дугам, соответствующим хордам, наклонным к горизонту и не превышающим четверти круга или девяноста градусов, совершают движение, как показывает опыт, также в равные промежутки времени и притом меньшие, нежели при движении по хордам,—явление тем более удивительное, что можно было бы ожидать как раз противоположного. Если начальная и конечная точки движения одинаковы, и прямая линия есть кратчайшее расстояние между ними, то можно было бы думать, что движение, совершающееся по ней, требует наименьшего времени; на самом деле этого нет: наикратчайшее время пути, а, следовательно, и наибыстрейшее движение мы встречаем при движении по дуге, для которой соответствующая прямая является хордою ²⁵. Что касается, далее, отношения времени качания тел, подвешепных к нитям различной длины, то промежутки времени относятся между собой, как корни квадратные из длин маятников, и, обратно, длины маятников стоят между собою в двойной пропорции времен, т. е. относятся друг к другу, как квадраты времен качания. Таким образом, если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею; подобным же образом, в то время как один маятник совершает одно качание, другой, пить которого будет в девять раз короче, совершит три качания. Отсюда вытекает, что длины маятников обратно пропорциональны квадратам чисел их качаний, совершаемых в течение определенного промежутка времени²⁶.

Carp. Итак, если я хорошо понял, я могу тотчас же вычислить длину нити, укрепленной на любой огромной высоте, хотя бы точка подвеса ее и не была видима, раз только я могу наблюдать движение ее нижнего конца. Для этого мне понадобится лишь привязать к нижнему концу достаточный груз, который будет Качаться взад и вперед, и в то время, как кто-либо из моих друзей будет считать эти качания, самому наблюдать и считать одновременно качания другого маятника, длина которого равняется точно одному локтю. Из чисел качания этих двух маятников за один и тот же промежуток времени я и вычислю искомую длину нити. Положим, что в то время, как !мой друг насчитал двадцать качаний длинного маятника, я нашел, что мой маятник, длиною в один локоть, совершил их двести сорок; возведя числа двадцать и двести сорок в квадрат, получим 400 и 57 600, из чего заключим, что длинный маятник содержит 57 600 таких частей, которых в меньшем, длиною в один локоть, содержится 400; а разделив 57 600 на 400, получим число 144; таким образом я узнаю, что длинный маятник имеет длиру в 144 локтя.

Саль в. Вы не ошибетесь и на толщину одного пальца, особенно, если сосчитаете большое число качаний.

С а г р. Как часто даете вы мне случай, синьор, удивляться богатству и вместе с тем щедрости природы, делая совершенно новые интересные выводы из простых, известных и, скажу, даже тривиальных вещей, выводы, далекие от того, что может представить воображение. Тысячи раз наблюдал я качание, в особенности церковных паникадил, подвешенных, часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающий незначительные движения. Однако самое большее, что я вывел из этих наблюдений, это то, что мнение, будто такие движения поддерживаются окружающей средою—в данном случае воздухом—неосновательно. Мне казалось невозможным, чтобы воздух имел такое правильное движение, или чтобы ему нечего было делать, кроме как проводить час за часом в раскачивании с такою размеренностью свешивающихся тяжестей. Но то обстоятельство, что одно и то же тело, свешивающееся с высоты ста локтей, употребляет на прохождение больших и малых дуг при отклонении на девяносто градусов и на один градус одинаковый промежуток времени, ускользало от моего внимания, и до сих пор кажется мне невозможным. Теперь я нахожусь в ожидании услышать, каким образом эти простейшие соотношения могут объяснить музыкальные проблемы, и хотя отчасти удовлетворить мою любознательность .

С а л ь в. Прежде всего необходимо установить, что каждый маятник имеет время качания столь строго определенное и ограниченное, что невозможно заставить его двигаться в период иной> нежели свойственный ему от природы. Если возьмем в руки веревку с привязанным к ней грузом и попробуем увеличить или уменьшить число качаний, то найдем, что это напрасный труд. С другой стороны, маятник, находящийся в покое, хотя бы и очень тяжелый, мы можем привести в движение и притом очень заметное простым дуновением, если мы будем приостанавливать дыхание при возвращении маятника и вновь дуть в соответствующий его качанию момент. Если при первом дуновении мы откачнем маятник от отвеса на полдюйма, то вторым дуновением по возвращении маятника назад мы сообщим ему новый толчок и так постепенно увеличим размахи; но дуть для того необходимо во-время, а не тогда, когда маятник идет навстречу (в каковом случае мы замедлим, а не ускорим его движение). Многими последовательными толчками мы постепенно сообщим маятнику столь сильное движение, что нужно будет приложить силу, во много раз большую, нежели дуновение, чтобы его остановить. .

Carp. Я еще ребенком наблюдал, как один человек подобными многократными во-время данными толчками заставлял звонить огромный церковный колокол; желая остановить его, четверо и шестеро человек хватались за веревку, но их много раз поднимало кверху, и их совместные усилия были недостаточными, чтобы сразу прекратить движение, сообщенное одними регулярными толчками.

Сальв. Вот пример, который вместе с моей предпосылкой может быть очень подходящим для пояснения удивительных явлений в струнах цитры или струнного кимвала, которые, приходя в движение, Заставляют звучать также и другие струны и притом настроенные не только в унисон, но и в октаву или квинту. Струна после удара по ней издает звук, продолжающийся все время, пока длятся ее колебания; эти колебания заставляют дрожать и колебаться прилегающий к ней воздух, сотрясения и колебания которого распространяются на большое пространство и отзываются на всех струнах того же инструмента и даже соседних. Каждая струна, настроенная в унисон с первой, будучи склонна совершать колебания в одинаковые с нею промежутки времени, при первом же толчке начинает слегка колебаться; к первому толчку присоединяется второй, третий, двадцатый и т. д., все в соответственные моменты, так что, в конце концов, получается дрожание, подобное дрожанию первой струны; при ртом можно ясно видеть расширение ее колебаний до размеров колебания струны, возбуждающей ее движение. Колебания, распространяющиеся по воздуху, затрагивают и приводят в движение не только струны, но и, вообще, все иные тела, способные колебаться и вибрировать в промежутки времени, одинаковые со звучащей струной. Если мы прикрепим к краю инструмента различные щетинки или другие тела из весьма гибкого вещества, то, ударяя по струнам инструмента, заметим, что некоторые из них будут приходить в движение, когда мы ударяем по струне, совершающей колебания в одинаковое с ними время, другие будут оставаться при этом в покое, первые же не будут колебаться при звуке иных струн. Если мы будем сильно водить смычком по толстой струпе скрипки по соседству с кубком из тонкого гладкого стекла, то, когда время колебания струны будет совпадать со временем колебания кубка, последний задрожит и явственно зазвучит в унисон струне. Распространение колебательных движений в среде, окружающей звучащее тело, можно ясно наблюдать, заставив звучать кубок, частью налитый водою, водя концом пальца по его краю: содержащаяся в кубке вода покроется правильными волнами, рто явление наблюдается еще отчетливее, если поставить ножку кубка на дно какого-нибудь достаточно широкого сосуда, наполнив последний водою почти до краев кубка; заставляя трением пальца звучать кубок, мы увидим, как правильные волны побегут с большой быстротой по воде и соберутся на значительном расстоянии от кубка, заставляя звучать указанным способом достаточно -большой кубок почти полный воды, я часто видел, как сперва образовывались с совершенной правильностью волны, затем звук стекла внезапно повышался на октаву и в тот же момент каждая из волн распадалась на две—явление, ясно указывающее, что форма октавы представляется двойной.

Carp. Подобное же приходилось не раз наблюдать и мне при занятиях музыкой как для удоволь- -ствия, так и для пользы. Я долгое время находился в недоумении по поводу формы созвучий, так как мне казались недостаточными те положения и объяснения, которые обычно даются авторами сочинений о музыке. Они говорят, что диапазон или октава стоит в отношении двойном, а диапента или, как мы говорим, квинта—в отношении полуторном к основному тону и т. д.; действительно, если натянутая на монохорде струна дает основной тон, то, заставляя звучать половину струны, разделив ее пополам посредствохч поставленной в середине дощечки, мы получим октаву; если же мы поставим дощечку на одну треть от конца струны и, придержав меньшую часть, заставлю звучать часть из двух третей струны, то получим квинту. Поэтому говорят, что в октаве созвучие стоит в отношении двух к одному, а в квинте—в отношении трех к двум. Скажу, что это рассуждение казалось мне недостаточным для того, чтобы утверждать, будто двойное и полуторное отношения являются естественными формами для диапазона и диапенты, и вот по каким основаниям. Мы можем повысить тон струны гремя способами: укорачиванием, вытягиванием или, скажем, большим натяжением и, наконец, утончением. Сохраняя одну и ту лее толщину и степень натяжения, мы должны, если хотим получить октаву, разделить ее подпоркою пополам и сперва заставить Звучать всю струну, а затем половину ее. Но если, сохраняя ту же толщину и длину, мы захотим получить октаву посредством большего натяжения струны, то недостаточно будет тянуть ее силою вдвое большей; для этого понадобится сила в четыре раза большая, так что если струна была первоначально натянута грузом, например, в один фунт, то, чтобы получить октаву, необходимо будет подвесить груз в четыре фунта. Наконец, чтобы получить октаву, сохраняя ту же длину и степень натяжения, надо взять более тонкую струну, которая составит по толщине четвертую часть первоначальной толстой струны. То, что я говорю здесь об октаве; т. е. о зависимости ее от степени натяжения и от толщины струны и об отношении ее как двух к одному, выводимом из отношения длины струн, одинаково применимо и ко всяким другим музыкальным интервалам. По рто(му, если отношение, найденное на основании сравнения длины, равно полутора, поскольку для получения квинты мы заставляем звучать сначала всю, а затем две трети струны, то для того чтобы получить такое созвучие посредством большего натяжения или утончения струны, отношение трех к двум следует возвести в квадрат, что дает отношение девяти к четырем; таким образом, если в первом случае первоначальный груз, натягивающий струну, равнялся четырем фунтам, то придется взять новый груз не в шесть, а в девять фунтов; во втором же случае придется подобрать струны так, чтобы толщина одной из них относилась к толщине другой, как девять к четырем. После таких точных опытов мне показалось, что нет никаких оснований для утверждения почтенных философов относительно октавы, будто она имеет форму отношения одного к двум, а не одного к четырем; равным образом и квинта скорее соответствует отношению четырех к девяти, чем двух к трем. Так как сосчитать колебания струны, которая, давая Звук, вибрирует с большою быстротою, совершенно невозможно, то я долго оставался в сомнении, действительно ли верно, что струна, звучащая на октаву выше, делает за то же время в два раза больше колебаний, чем струна, дающая основной более низкий тон, пока опыт с дрожащим и звучащим кубком и постоянными водяными волнами не показал мне, что всякий раз, как з^вук повышается на октаву, тотчас же рождаются новые меньшие волны, которые с величайшей точностью и правильностью разбивают каждую из прежних волн на двое.

С а л ь в. Это прекрасный опыт, дающий возможность различать одно от другого сотрясения, исходящие от звучащего тела; это—те же самые сотрясения, которые, распространяясь в воздухе, приводят в колебательное движение барабанную перепонку в нашем ухе и претворяются в нашей душе в звук. Так как явление, наблюдаемое с водою, продолжается только до тех пор, пока sibi продолжаем водить по кубку пальцем, да и в этот период времени оно непостоянно, ибо волны попеременно и рождаются и расходятся, то, конечно, вы согласитесь, что было бы хорошо, если бы можно было заставить колебания длиться продолжительное время, скажем, месяцы и годы; это дало бы нам возможность их измерять и удобно считать.

С а г р. Конечно, я бы весьма высоко оценил такое изобретение.

С а ль в. Изобретение¹ это было делом случая; мне надо было только подметить и оценить должным образом попутное явление, имевшее место в довольно несовершенной обстановке. Я скоблил острым железным долотом пластинку из латуни, чтобы удалить с нее пятна, и при быстром многократном движении долота раз или два услышал ясный и чистый з^вук; когда я посмотрел на пластинку, то увидел длинные ряды тончайших пылинок, расположенных параллельно и на совершенно одинаковом расстоянии друг от друга. Возобновляя и повторяя соскабливание много и много раз, я заметил, что полосы на пластинке появлялись только в тех случаях, когда повторялся Звук; когда же движение долота происходило беззвучно, то не было никакого намека и на рисунок. Я повторял опыт много раз, проводя долотом то с

большей, то с меньшей скоростью и получая звук то более высокого, то более низкого тона; я заметил, что при более высоких тонах штрихи получались более сближенными, а при низких—более редкими: в тех случаях, когда в один и тот же раз я проводил долотом сначала с меньшей, а пото}м, к цонцу, с большею скоростью и получал звук постепенно повышающийся в тоне, штрихи получались все более сближенными, но с самой правильной постепенностью и сохраняя постоянную параллельность; кроме того, при соскабливании, порождающем звук, я чувствовал, как дрожало долото, зажатое в моем кулаке, и по руке пробегала как бы дрожь. В общем, в данном случае на примере железа наблюдается то же самое. что происходит, когда мы говорим сначала шепотом, а затем издаем ясный тон, потому что, выпуская дыхание беззвучно, мы не чувствуем в горле и во рту почти никакого движения по сравнению с тем сильным сотрясением, которое испытывает гортань, когда мы говорим полным голосом, особенно при глубоких низких тонах. Я неоднократно пробовал подобрать на струнах кимвала звуки, соответствующие тем, которые получались указанным образом. Два из наиболее разнящихся по тону звука отличались друг от друга ровно на квинту; когда я измерил штрихи и расстояние между ними в том и другом случае, то я нашел, что пространство, содержавшее сорок пять штрихов в одном случае, имело их только тридцать в другом, что действительно соответствует форме, приписываемой диапенте. Прежде чем продолжать далее, я хочу обратить ваше внимапие на то, что один из трех способов повысить тон, о котором вы говорили, а именно, утончение струны, правильнее относить к изменению веса последней. При одинаковом материале пропорция сохраняется, конечно, одинаковой, так что из двух струн, сделанных из кишек₅ одна струна должна быть в четыре раза толще другой, чтобы разница в тоне равнялась октаве; также и в случае латунных струн—одна из них должна быть вчетверо толще другой. Но если я хочу получить октаву из струн—одной латунной, а другой жильной,—то нет надобности, чтобы одна была в четыре раза толще другой; необходимо только, чтобы одна была в четыре раза тяжелее другой. Таким образом, что касается толщины, то металлическая струна будет по сравнению с жильной струной, звучащей на октаву выше, не в четыре раза толще последней, а приблизительно во столько же раз тоньше; но вес первой будет в четыре раза больше веса второй. Отсюда же происходит и то, что если мы возьмем два инструмента со струнами совершенно одинаковой длины, толщины и степени натяжения, но в одном случае сделанными из золота, а в другом из латуни, то тон первого будет ниже, чем второго приблизительно на квинту, так как золото почти в два раза тяжелее латуни. Отсюда можно видеть, что сопротивление скорости движения оказывает по преимуществу вес тела, а не толщина, обратно тому, чего можно было бы ожидать по первому взгляду; казалось бы естественным, что скорость должна быть умеряема сопротивлением среды в большей степени, если последняя должна уступать движению тела толстого и более легкого, чем тела тонкого и тяжелого; в действительности же в данном случае имеет место как раз обратное. Но возвращаясь к первому положению, скажу, что ближайшая и непосредственная причина формы музыкальных интервалов лежит не в длине струны и не в толщине или степени натяжения: она заключается в отношении между числами колебаний и ударов воздушных волн, доходящих до барабанной перепонки нашего уха и заставляющих ее дрожать с соответственной скоростью. Установив это, мы можем с большою уверенностью найти основание тому, почему при многих звуках, различных по тону, некоторые созвучия воспринимаются нами с удовольствием, иные нам менее приятны и третьи, наконец, производят крайне неприятное ощущение, т. е. найти основание для более или менее совершенных консонансов и диссонансов. Неприятное впечатление от последних происходит, думается мне, от несогласованности колебаний, производимых двумя различными тонами и беспорядочно поражающих наш слух; особенно резким является диссонанс в том случае, когда числа колебаний несоизмеримы, например, если при двух в унисон настроенных струнах заставить звучать струну и часть, относящуюся ко всей струне, как сторона квадрата к его диагонали,—диссонанс, подобный тритонусу или полудиапенте. Консонансами, т. е. созвучиями, воспринимаемыми с удовольствием, являются два таких тона, которые производят колебания, ударяющиеся о барабанную перепонку с известною правильностью; здесь, прежде всего, необходимо, чтобы числа колебаний, совершаемых звуками в одинаковый промежуток времени, были соизмеримыми и чтобы, таким образом, хрящ барабанной перепопки не находился в постоянном мучительном состоянии движения двумя различными способами, в зависимости от несогласованных друг с другом ударов. Таким образом первым и самым совершенным созвучием является октава: на каждый удар, производимый на ухо Звуком более низкого тона, в ней приходятся два удара более высокого тона, так что удары обоих тонов то совпадают, то расходятся, и из общего числа ударов половина является совпадающей; при звуках же струн, настроенных в унисон, совпадают все удары, т. е. звучит как бы одна только струна, и созвучия не получается. Приятно звучащая квинта дает на каждые два колебания низкой струны три колебания струны более высокого тона, откуда следует, что из числа всех колебаний, производимых более высоким тоном, одна треть совпадает с колебаниями более низкого тона, и что между каждою парой совпадающих колебаний помещаются два колебания одиночных; в диа-тоссероне, или кварте, число таких одиночных промежуточных колебаний равно трем. В секунде или тоне полутораоктавном из девяти колебаний высокого тона только одно совпадает с колебаниями низкого тона, все же остальные являются несовпадающими, и от ударов их о барабанную перепонку получается уже впечатление диссонанса.

Симпл. Мне хотелось бы, чтобы вы дали более подробные объяснения ртого вопроса.

С а л ь в. Пусть линия АВ представляет длину и распространение колебаний струны более толстой, а линия CD—струны более тонкой, дающей с первой созвучие октавы. Разделим теперь линию АВ пополам в точке Е. Ясно, что если движение начинается от точек А и С, то пока колебание более высокого тона дойдет до конца, колебание низкого тона достигнет только середины пути Е; так как эта последняя не является конечной точкой движения, то в ней не получается того толчка, который имеет место в точке D. Пока второе колебание возвращается из D в С, первое доходит из Е в В, и тогда оба толчка в точках В и С совместно воспринимаются нашим ухом. То же самое повторяется в целом ряде последующих колебаний, так что толчки от колебаний С, D попеременно то совпадают, то не совпадают с толчками от колебаний А, В. Конечные толчки последней всегда сопровождаются толчками от С, D и притом всегда соответствующими одной и той же точке; ибо предполагая, что А и С дают одновременный толчок, найдем, что в то время, как первое колебание пройдет от А до В, второе пройдет от С до D и снова возвратится в G, так что толчки в С и В совпадут; пока колебание от В будет возвращаться обратно в А, колебание от С дойдет до D и успеет снова возвратиться в С, так что толчки в А и С опять будут одновременными. -Предположим теперь, чтй колебания АВ и CD будут таковы, что образуют дианенту, т. е. что продолжительность их имеет полуторное отношение. Разделим длину колебания низкого топа АВ на три части точками Е и О и допустим, что движение начинается одновременно от точек А и С. Ясно, что когда в конечной точке D произойдет толчок, колебание АВ распространится только до точки О; таким образом наше ухо воспримет только один толчок в точке D. Пока вторая волна будет итти обратно от D к С, первая дойдет из О до конца В. пойдет обратно и достигнет точки О, дав один толчок в В—отдельный и через промежуток времени, не равный первому (обстоятельство, на которое обращаю ваше внимание); действительно, раз мы приняли, что первоначальное движение началось от точек А и С одновременно, то толчок в конечной точке D последует через столько времени, сколько необходимо, чтобы пройти расстояние CD или АО; следующий же толчок в точке В будет иметь место через промежуток времени вдвое более короткий, ибо расстояние ОВ составляет лишь половину ранее указанных. При дальнейшем движении одно колебание доходит обратно из О до А, в то время как другое, выйдя из С, достигает D; таким образом толчки в точках А и D совпадают и происходят одновременно. З^а этим следуют другие периоды, подобные разобранному, т. е. с двумя отдельными толчками от колебаний высокою тона и одним заключенным между ними отдельным толчком от колебаний низкого тона. Если мы представим себе теперь время разделенным на малые равные промежутки и предположим, что в течение двух первых таких промежутков движение колебаний про^ исходит от А и С до О и D и в D получается) толчок, то в течение третьего и четвертого промежутка произойдет обратное движение от D до С, где получится новый толчок, и одновременно движение от О до В п обратно от В до О, с толчком л В; наконец, в течение пятого и шестого промежутков движение от О и С дойдет одновременно до А и D, где оба толчка совпадут. Таким образом сотрясения, воспринимаемые нашей барабанной перепонкою, располагаются в таком порядке, что если начальные моменты колебаний совпадают, то через две единицы времени следует одиночный толчок, по истечении третьей—второй одиночный толчок, такой же толчок следует по истечении четвертой единицы, а затем, спустя, еще две единицы, т. е. но истечении шести единиц от начала, следуют одновременно два совпадающих толчка. Этим заканчивается период или, так сказать, некоторая неправильность, и в- последующем тот же период повторяется снова и снова.

С а г р. Я не могу более молчать и должен выразить восхищение, которое я испытываю, видя, как хорошо и основательно объясняются все те явления, которые столь долгое время держали меня в слепоте и мраке. Теперь я понимаю, почему два тона, звучащих в унисон, ничем не отличаются от одного звука; понимаю, почему октава является лучшим созвучием, но настолько сходным с унисоном, что она как бы подражает последнему; сходство и различие зэключаются в том, что все колебания струн, звучащих в унисон, всегда и постоянно совпадают, тогда как в октаве все колебания более низкого тона сопровождаются колебаниями высокого тона, дающими, кроме того, чрез равные промежутки времени одиночные толчки, ничему не мешающие; вот почему рто созвучие представляется таким нежным, но звучащим без особого огня. Квинта же, со свойственными ей контртемпами и промежутками между каждой парой совпадающих толчков, з^а~ лодненными двумя толчками высокого тона и одним толчком низкого тона, которые все три следуют один За другим чрез одинаковые интервалы времени, равные половине интервала от двойного совпадающего толчка до первого одиночного толчка высокого тона, производит весьма приятное щекотание слуховой перепонки, при котором нежность и острота умеряют друг друга и кажется, что одновременно получаешь сладостный поцелуй и легкий укол.

С а л ь в. Теперь, синьоры, видя, что вы столь высоко цените мои небольшие сообщения, я считав! необходимым показать вам, каким образом можно видеть и наблюдать глазом ту же игру, которую слышит наше ухо. Подвесьте свинцовые шарики или другие подобные им тяжелые тела на трех нитях разной длины, подобрав последние таким образом, чтобы в то время как самая длинная из них совершала два качания, самая короткая делала бы их четыре, а средняя—три; это будет иметь место, если придать наибольшей нити длину в шестнадцать каких-либо мер, средней—в девять и самой короткой— в четыре. Выведенные из отвесного положения и отпущенные одновременно маятники начнут качаться, причем произойдет как бы беспорядочное пересечение нитей, встречающихся в разных положениях: однако при каждом четвертом качапии длинного маятника все три маятника будут совнадать и, начиная одновременно движение, будут начинать и новый период. Это смешение качаний соответствует тому смешению колебаний, которое воспринимается слухом от звуков трех струн, дающих октаву и квинту. Если мы определим подобным же образом длину других нитей сообразно с определенными интервалами, дающими музыкальное' созвучие, то получим иное смешение и пересечение нитей, но всегда такое, при котором в известное время через известное число качаний последние совпадают, и маятники (будь их три или четыре) вновь одновременно начинают свое периодическое движение. Если же числа качаний двух или более маятников несоизмеримы, так что последние не кончают одновременно движения через определенное число качаний или же если они и соизмеримы, но совпадают и начинают новый период только через большой промежуток времени и после весьма большого числа колебаний, то глаз окончательно теряется в неправильном беспорядочном движении так же, как и ухо, когда оно мучительно воспринимает сотрясения воздуха, ударяющиеся о барабанную перепонку без всякой правильности и порядка²⁷.

Однако, синьоры, куда же завели нас на столько часов различные проблемы и непредвиденные отступления? Уже вечер, а о том предмете, которым мы первоначально предполагали заняться, мы сказали очень мало или, вернее, не сказали почти ничего. Мы настолько уклонились от нашего пути, что я с трудом вспоминаю его начало и те первоначальные положения, которые были приняты нами как гипотезы и основания для будущих наших рассуждений.

Сагр. В таком случае покончим на сегодня наши рассуждения и дадим возможность уму воспользоваться отдыхом и ночным покоем, для того чтобы завтра (если только вы, синьор, на это согласны) возвратиться к обсуждению главных вопросов.

С а л ь в. Я не премину быть здесь завтра в том же часу, как и сегодня, чтобы услужить и угодить вам.