Значение Е измеряется в покоящейся системе отсчета, а Е' - в движущейся системе. Таким образом, Е = ?ь а Е' = Е2 иН.Т. Роузвер
ПЕРИГЕЛИЙ МЕРКУРИЯ ОТ ЛЕВЕРЬЕ
ДО ЭЙНШТЕЙНАN. T. Roseveare
MERCURY'S PERIHELION FROM LE VERRIER TO EINSTEIN
Глава 7
Общая теория относительности и аномальное смещение ; перигелия Меркурия
7.1. Общая теория относительности
Общая теория относительности Эйнштейна была опубликована в конце 1915 г. Ее окончательное принятие как теории тяготения - преемницы теории Ньютона - покоилось на трех наблюдательных основаниях, известных как классические испытания справедливости общей теории относительности. Эти испытания подтвердили следующие три предсказания теории:
Когда Эйнштейн разрабатывал релятивистскую теорию тяготения, было ясно, что она должна, по крайней мере частично, объяснять аномальное смещение перигелия Меркурия. Такое убеждение следовало хотя бы из того, что любая поправка к закону Ньютона приводила к предсказанию этого эффекта. Наша цель заключается, в частности, в том, чтобы выяснить, насколько поддавалось оценке такое смещение и позволяло ли полученное значение судить о возможном успехе разрабатываемой теории. Обсуждение общей теории относительности и конкурировавших с ней теорий будет проводиться в основном с учетом этого аспекта. Для удобства мы разделим теорию Эйнштейна на четыре составные части: специальная теория относительности, неевклидова геометрия, принцип эквивалентности, принцип ковариантности.
Эйнштейн работал вовсе не в одиночестве. Вплоть до 1915 г. продолжались бурные дискуссии и споры среди ряда физиков, занимавшихся созданием новой теории тяготения. Очень важное значение имели работы двух из них-Макса Абрагама и Гуннара Нордстрема. Абрагам родился в 1875 г., учился вместе с Планком в Берлине, а в 1900 г. стал приват-
Общая теория относительности
доцентом в Геттингене. Он отличался острым языком, и, как говорили, из-за этого его обходили стороной при назначениях на университетские должности. В конце концов он стал заведовать кафедрой теоретической механики Миланского университета, но в 1914 г. вернулся в Германию. Он стал профессором физики в Высшей технической школе в Штутгарте и умер в 1922 г., вскоре после назначения на кафедру теоретической физики в Аахене. Нордстрем родился в 1881 г. в Хельсинки, в период 1906-1907 гг. учился в Геттингене, а с 1910 до 1918 г. был доцентом университета в Хельсинки. С 1918 г. до самой смерти в 1923 г.
он - профессор Высшей технической школы. Научная карьера Эйнштейна вначале была медленной. Потребовалось некоторое время, прежде чем специальная теория относительности, опубликованная в 1905 г., завоевала признание. Он стал заниматься преподаванием лишь в 1909 г., когда в возрасте 30 лет получил место ассистента в Цюрихском университете. Эйнштейн переехал в Прагу, в 1912 г. вернулся в Цюрих уже профессором, а с 1914 г. стал работать в Берлине в качестве директора Института физики при Институте им. кайзера Вильгельма.Хотя вначале специальная теория относительности Эйнштейна была принята сдержанно, она вскоре стала стандартной отправной точкой для физиков, разрабатывающих гравитационные теории. Ньютонова теория тяготения была несовместима со специальной теорией относительности, поскольку предусматривала мгновенность распространения гравитационного действия, а эта концепция противоречит релятивистскому принципу, согласно которому скорость света представляет собой максимально возможную скорость распространения. Группа физиков работала над лоренц-инва-риантными модификациями закона Ньютона, которые будут рассмотрены в разд. 7.5. Более перспективные теории разрабатывались на основании иных исходных посылок. Абрагам в 1914 г. [6] дал простую иллюстрацию различий между этими двумя группами теорий тяготения. Полная энергия Е тела массой
m является функцией гравитационного потенциала Ф в jMeere расположения этого тела. Энергия Е входит в известный релятивистский закон Е = тс2, где с - скорость света. Если ? есть функция Ф, то либо т, либо с должны быть функцией Ф. В раннем варианте своей теории тяготения Эйнштейн положил с = /(ф), так что специальная теория относительности оказывалась справедливой лишь для малых пространственно-временных областей, где гравитационный потенциал был постоянным (что обеспечивало постоянство значения с), а также для областей нулевого потенциала, удаленных от вещества. Абрагам также принял с = /(Ф), но не связывал себя предпочтением специальной теории относи-тельности и не обращал внимания на вытекавшие отсюда ограничения. В противоположность этому Нордстрем и Ми считали, что нельзя отказываться от всеобщего принципа по стоянства скорости света, и приняли т = /(Ф). Материал, касающийся развития теории тяготения, который выходит за рамки приведенного ниже, можно найти в работах [6, 386, 156, 143, 245]. г . . . , ,>.. : : -,
7.2. Теории тяготения: 1911 - 1915 гг. ' -<"Ч-;Г
< ' -M\i\v>-\i.-Эйнштейн отбросил идею постоянства скорости света уже в 1907 г., когда рассмотрел следствия из введенного им но вого принципа эквивалентности. Используя другой аргумент, основанный на этом принципе, он получил в 1911 г. то же самое выражение для скорости света. Эйнштейн [98] нашел, что в поле с гравитационным потенциалом Ф скорость света с определяется выражением ., .,
с(Ф) = со(1+Ф/с§), м
' (7.1)где с = Со, когда Ф = 0.
В 1912 г. Абрагам опубликовал свою первую теорию тяготения [3, 4], в которой он получил
у/
2, (7.2)что в первом приближении соответствует полученному Эйнштейном выражению (7.1). Вскоре после этого сам Эйнштейн выдвинул теорию, в которой скорость света с удовлетворяет уравнению
где р - плотность вещества, a
k - универсальная (гравита ционная) постоянная. Гравитационная сила, действующая на массу т, определялась выражением '" F = - т grade. '. (7.4)Поскольку из уравнений этой теории следовало, что действие и противодействие не равны друг другу, Эйнштейн [100] вскоре несколько изменил уравнение (7.3), приведя его к виду
- )2/2 = ?с2сг, - (7.5)
где а - плотность вещества и плотность энергии других полей. В августе того же года на международном конгрессе математиков в Кембридже (Англия) Абрагам выдвинул свою вторую теорию [5]. В ней давалось следующее выражение
для гравитационной силы k: . . . .
k = А/г
3 -В/г3, : . 1'- . (7.6)причем В/А=ут'/2с
2, где у - гравитационная постоянная, т' - масса центрального тела.На этом первом этапе создания новых представлений о тяготении преобладающее значение имели работы Эйнштейна и Абрагама, которые выдвинули новые теории, вступив между собой в длительную дискуссию. На втором этапе основным конкурентом Эйнштейна стал Гуннар Нордстрем, предложивший два варианта теории тяготения в 1912 и 1913 гг. Вместо представления скорости света как функции гравитационного потенциала, как это сделали Эйнштейн и Абрагам, Нордстрем [264] предпочел не ограничивать область применения специальной теории относительности, что потребовало от него положить
т = тоехр(Ф/с
2). ': ", (7.7)Позже Нордстрем [265] модифицировал свою теорию; в частности, он представил гравитационную постоянную зависящей от потенциала, задав ее формулой
(Ф-Фо
)В 1913 г. Густав Ми выдвинул теорию строения вещества, которая хотя и не была столь важна как теория гравитации, сыграла тем не менее важную роль, поскольку в ней была предпринята попытка охватить все физические процессы посредством единой мировой функции, выраженной через электрические и магнитные величины [246].
Эйнштейн в 1913 г. также написал важную статью. В начале 1911 г. он уехал в Прагу, где ему предложили кафедру физики, но в 1912 г. вернулся, чтобы занять такое же место в Цюрихе. Здесь он сотрудничал со своим старым другом, математиком Марселем Гроссманом. В 1913 г. они совместно опубликовали статью "Набросок обобщенной теории относительности и теории тяготения" [109]. Эту работу, физическая часть которой была написана Эйнштейном, а математическая-Гроссманом, можно рассматривать как основу созданной позже общей теории относительности. Эйнштейн представил указанную работу на обсуждение 85-го конгресса естествоиспытателей, который состоялся в декабре 1913 г. в Вене [101J. В начале 1914 г. он переехал в Берлин, где появились другие его работы, включая большую статью [102], посвященную формальным основам общей теории относительности. В конце 1915 г. теоретические проблемы были успешно решены
: и на четырех заседаниях Прусской академии наук в Берлине, состоявшихся 4, 11, 18 и 25 ноября 1915 г., Эйнштейн изложил то, что нам известно теперь как общая теория относительности [105]. На заседании 18 ноября он представилсвое объяснение смещения перигелия Меркурия, а 25 ноября были даны уравнения поля в окончательной форме.
Поскольку нас интересуют эмпирические следствия упомянутых выше теорий и, в частности, предсказание ими сме-щения перигелия, мы не будем углубляться в обсуждение их существа. Однако, говоря об Эйнштейне, следует отметить, что в конце 1913 г. (и вплоть до конца 1915 г.) существовали лишь две теории, достойные обсуждения. Первая из них была создана самим Эйнштейном при сотрудничестве на начальной стадии с Гроссманом, а вторая была выдвинута Нордстремом и рассмотрена Эйнштейном и Фоккером [108] с применением аппарата тензорного исчисления. Эти теории принадлежали двум различным классам, так как гравитационный потенциал в теории Нордстрема представлен скалярной величиной, а в теории Эйнштейна - Гроссмана - тензором (в виде десяти компонентов
g^,). Как мы увидим, в то время чисто эмпирические данные не позволяли сделать выбор между этими двумя альтернативами, но Эйнштейн уже тогда выступал с серьезными возражениями против скалярных теорий.В 1912 г. Эйнштейн в своем письме к Нордстрему высказал критическое замечание по адресу его первой теории, которое было приведено в конце статьи [264]. Как писал Эйнштейн, это выражение вначале относилось и к его собственной ранней скалярной теории. Он показал, что в гравитационном поле вращающееся тело, согласно этой теории, должно падать медленее, чем невращающееся. Такой результат противоречит принципу эквивалентности, утверждающему, что в данных условиях все тела должны падать с одним и тем же ускорением. Для Эйнштейна сам факт существования такого противоречия ставил под сомнение всю теорию, но Нордстрем считал, что он "слишком незначителен, чтобы противоречить опыту".
Теперь нам известно, что аналогичное противоречие свойственно и общей теории относительности. В 60-х годах с возрастанием интереса к скалярным теориям это возражение было возрождено вновь Харви [155, 157], который показал, что для тела в форме гантели длиной
2L, вращающегося с угловой скоростью со, изменение времени падения t должно в первом приближении составлять (a2L2/2c2)t, т. е. оказывается совершенно незначительным. Однако Зексль [333, с. 305-307] показал несостоятельность этого аргумента.Другое возражение против теории Нордстрема, высказанное Эйнштейном, касалось принципа Маха. В своей лекции, прочитанной в декабре 1912 г. в Вене, Эйнштейн сказал о второй теории Нордстрема [101, с. 125].
"Неудовлетворительным остается только то обстоятельство, что, согласно этой теории, инерция тела хотя и подвержена
влиянию остальных тел, но не обусловлена ими, поскольку в этой теории инерция тела тем больше, чем дальше оно от других тел" [русский перевод, с. 288].
Как считал Эйнштейн, он показал, что в его собственной теории "причиной инерции является взаимодействие рассматриваемой материальной точки со всеми остальными" [109, с. 223; русский перевод, с. 230]. Этот эффект противоположен предсказанному теорией Нордстрема. Гут [143, с. 190-193] проследил эволюцию представлений, касающихся этого эффекта, на протяжении всей творческой жизни Эйнштейна и позже, вплоть до начала 60-х годов, когда Дикке отметил, что эффект Эйнштейна не является инвариантным и существует лишь в определенной координатной системе. Такой эффект присутствует в первой теории Нордстрема и в теории Бранса - Дикке.
Еще два возражения против скалярных теорий были выдвинуты Эйнштейном в отдельном разделе работы [109, с. 242-244]. В то время он еще не располагал эмпирическими аргументами против них. Как свидетельствует фраза в начале этого раздела, Эйнштейн признавал, что его теория выглядит более сложной. Теория Нордстрема, например, содержала лишь один гравитационный потенциал, а теория Эйнштейна - десять. В скалярной теории связь между электромагнитным и гравитационным полями отсутствует, а это означает, что скорость света вблизи массивного тела не изменяется и, следовательно, не должно наблюдаться отклонения света звезд в гравитационном поле Солнца. Эйнштейн считал, что, рассматривая полость, содержащую чернотельное излучение, можно прийти к следствиям, которые неприемлемы для скалярной теории, но укладываются в рамки тензорной теории. Однако этот аргумент был отброшен в примечании, помещенном сразу после математической части той же работы [109]. Эйнштейн упустил из виду эффект изменения длины в гравитационном поле и вытекающие отсюда искажения, вносимые в систему. Нордстрем [265, с. 544] опубликовал подробный ответ Эйнштейну, отстаивая свою теорию.
В заключение своей работы [109] Эйнштейн отметил, что для него наиболее весомый аргумент против скалярных теорий состоит в том, что теория относительности справедлива по отношению к гораздо более широкой группе преобразований, чем линейная ортогональная группа (группа Лоренца), допускаемая скалярными теориями. Однако он смягчил это утверждение, добавив, что наиболее общую группу преобразований
, соответствующую его уравнениям гравитации, он еще не нашел.Эти четыре аргумента, возможно, были достаточными, чтобы удержать Эйнштейна на избранном им пути, ведущем
к общей теории относительности, однако их нельзя назвать исчерпывающими. Как мы увидим, эмпирические данные так же не были определенно ни за, ни против какой-либо отдель ной теории. - -.'--
7.3. Предсказания смещения перигелия: 1911 -1915 гг. '
Сравнение различных предвычисленных значений смещения перигелия можно начать с рассмотрения следствий теорий тяготения, упомянутых в начале этой главы. Если учитывать важное значение, придававшееся этой аномалии в движении Меркурия, возможно, покажется удивительным, что соответствующие предвычисления обычно оставались малоизвестными и зачастую публиковались во второстепенных статьях либо вовсе не публиковались. О возможной причине такого отношения говорится ниже.
Эмпирические следствия первой теории Абрагама были рассмотрены Паванини [275, 276]. Во второй его статье вычислено значение векового смещения перигелия Меркурия, равное 14,52" в столетие, т. е. одной трети значения, вытекающего из общей теории относительности. Абрагам указал это значение в своей обзорной статье [6, § ПВ], но не дал оценок, вытекающих из других теорий. Нигде не упоминалось и аномальное смещение, отмеченное Ньюкомом (4-42" в столетие) .
Теория Эйнштейна, созданная в 1912 г., не была разработана до вывода из нее эмпирических следствий. В статьях [384, 385] показано, что эта теория дает значение смещения на одну треть меньше, чем общая теория относительности.
Вторая теория Абрагама была рассмотрена в статье [49], но ее приложения там не приведены. Мы можем использовать формулу Ньютона, согласно которой для силы вида
р = ыт
~3 - сгп~3 Г../";!'^:;угол между двумя последовательными положениями перигелия составляет 2я[(Ь
- c)/(mb - пс)]. Если применить эту формулу к полученному Абрагамом закону силы [уравнение (7.6)], отмечая, что для Солнца В/А- 10~8 [5, с. 797], то получается угол между двумя последовательными положениями перигелия, равный 2л (1 - 10~8)1/2. В первом приближении это соответствует обратному движению перигелия, равному 10~8я радиан за оборот, или около 3" в столетие.Разработав свою первую теорию, Нордстрем не занимался ее эмпирическими следствиями. Бехаккер [28] получил уравнение планетной орбиты, но дальше этого не пошел, ограничившись следующим замечанием [28, с. 992]:
"Теория тяготения Нордстрема описывает свободное падение тела в пустоте и движение планеты в гравитационном поле Солнца в полном соответствии с опытом" [28, с. 992].
Однако в работе [384] показано, что теория Нордстрема предсказывает обратное смещение перигелия, по величине равное одной трети значения, следующего из общей теории относительности. Это предсказание никак не увязывается с наблюдениями, если только не объяснять другими причинами аномалию в движении Меркурия.
Сам Нордстрем рассмотрел движение планет в своей второй теории [266]. Он получил следующее выражение для движения перигелия за один оборот:
2 2
6 =
где
g0 = с2/Фц; гравитационный потенциал Ф' для центрального тела массы М определяется выражением Ф' = Фд - - М/4лг. В этой формуле qi представляет собой значение q, соответствующее положению планеты в афелии, где q = и/с и v - скорость планеты. Согласно Нордстрему [266, с. 1108]"...go и
gi имеют почти одинаковые значения; в нашей области Вселенной go -9,15-К)-4 см3/2-с~1-г~1/2. Для случая движения Земли вокруг Солнца б приблизительно равно 10~8. Угол 360°/V 1 + 6 отличается от 360° лишь на 0,0065 секунд дуги. Таким образом, это вращение эллипса земной орбиты за каждый год чрезвычайно мало по сравнению с астрономическими возмущениями".Удивительно, что значение смещения перигелия для Меркурия не приведено. Обратное смещение перигелия земной орбиты, согласно этой теории, равно около 0,65" в столетие. От характеристик движения планеты зависит лишь функция /(ив малой степени
q{), представляющая собой константу в законе площадей r2dQ/dt - f, так что f2 = GMa(l - е2). Оценка б для Меркурия, полученная автором, соответствует обратному смещению перигелия 6,9" в столетие.Эта оценка находит подтверждение и в сравнительно недавних работах, хотя . необходимо точно указывать, какая именно из теорий Нордстрема обсуждается. Шильд [317], например, заканчивает свою статью, посвященную теориям тяготения типа Уайтхеда, сравнением общей теории относительности и теории Нордстрема. Как свидетельствуют ссылки, речь здесь идет о второй теории Нордстрема. Полученное Шильдом смещение перигелия составляет "1/6 значения, предсказываемого общей теорией относительности, и имеет противоположное направление". Он отметил также теорию Литтлвуда (1953 г.), который получил такие же уравнения
поля, как во второй теории Нордстрема [317, с. 113]. Смещение перигелия, согласно теории Литтлвуда, было вычислено Гюрси [142], но он допустил ошибку, которая была указана в статье [74]. Незадолго до этого Пирани [284] получил верный результат, т. е. обратное смещение перигелия, равное 1/6 общерелятивистского значения. Уитроу и Мордух [384, с. 792] подтвердили этот результат, указав на тождественность теорий Литтлвуда и Бергмана в отношении эмпирических следствий, но при этом они ссылались на первую теорию Нордстрема.
Теория Ми, по-видимому, не приводила к смещению перигелия Меркурия, поскольку в ней использовался ньютонов закон тяготения [246].
7.4. Эйнштейн, смещение перигелия и работа Фрейндлиха
В своих публикациях Эйнштейн не упоминал смещение перигелия Меркурия вплоть до 18 ноября 1915 г., когда он объявил, что наблюдаемое аномальное смещение полностью учитывается общей теорией относительности. В своей работе [109], написанной совместно с Гроссманом, Эйнштейн ограничился доказательством, что в пределе из его теории следует ньютоново движение. То, что смещение перигелия Меркурия получено в его теории, было впервые указано в докладе, прочитанном Дросте [92] в конце декабря 1914 г. в Амстердаме. Дросте вывел выражение для смещения перигелия, используя расчеты поля Эйнштейна - Гроссмана, выполненные Лоренцем, и в заключение добавил [92, с. 1010]:
"Как вычислил проф. де Ситтер из уравнений движения, выведенных проф. Лоренцем, смещение перигелия для Меркурия достигает 18" в столетие, тогда как наблюдаемое смещение составляет 44"".
Вопрос о том, учитывал ли сам Эйнштейн эмпирические следствия разрабатывавшихся им теорий по мере их развития, остается спорным. В большинстве его статей по теории тяготения, относящихся к тому времени, приведены предвы-численные значения красного смещения и отклонения светового луча в гравитационном поле. Однако результаты, касающиеся перигелия, нигде не рассматривались и даже не
упоминались. Это позволяет предположить, что Эйнштейн не занимался исследованием проблемы перигелия. Тем не менее ему были знакомы результаты, вытекающие из работы [109], поскольку 28 ноября 1915 г. он писал Арнольду Зоммер-фельду, что его прежние уравнения поля "совершенно несостоятельны", о чем свидетельствует, в частности, то, что они дают смещение перигелия Меркурия, равное "18" вместо 45"в столетие" [164, с. 32J. Хотя приведенное значение 45" говорит о какой-то неясности, по-видимому, нет оснований отвергать предположение, что Эйнштейн мог взять его из работ Дросте или де Ситтера.
Безусловно, то, что его окончательная теория полностью объясняла смещение перигелия, принесло Эйнштейну большое удовлетворение. В декабре 1915 г. он писал Микеле Бессо: "...больше всего меня радует согласие с наблюдаемым смещением перигелия Меркурия" [347], а в письме к Зоммер-фельду сообщил: "Результат, касающийся смещения перигелия Меркурия, наполняет меня глубоким удовлетворением" [164, с. 37]. Неудивительно, что Эйнштейн был доволен, ведь новая теория оказалась успешной как в теоретическом (вначале он вынужден был отбросить общую ковариантность), так и эмпирическом плане. Однако в чем была природа этого его успеха и почему он ставил себе в заслугу объяснение аномалии, которая столь мало упоминалась им в статьях, написанных в предшествующие годы? Мы не можем делать вид, что он не знал об аномалии в смещении перигелия Меркурия или что он не видел связи между этим эффектом и своей работой. Уже в 1907 г. Эйнштейн в своем письме
сообщал [324, с. 76]:"...я занят созданием релятивистской теории закона тяготения, с помощью которой я надеюсь найти причину пока необъяснимого смещения перигелия Меркурия".
Недостаток внимания к проблеме перигелия Меркурия отмечается не только в работах Эйнштейна. Из семи основных публикаций, содержащих изложение рассмотренных выше теорий тяготения (по две принадлежащих Абрагаму, Эйнштейну и Нордстрему плюс теория Ми), которые были разработаны до создания общей теории относительности, ни в одной не упоминалась эта аномалия. Лишь в статье Пава-нини, посвященной первой теории Абрагама, и статье Дросте, комментирующей работу Эйнштейна и Гроссмана [109], приводились оценки для Меркурия, но при этом Паванини не упоминал существования аномалии. Обсуждение в указанных статьях касалось общих принципов и степени соответствия теории этим принципам. Мы уже рассматривали аргументы Эйнштейна против скалярных теорий. Следующие замечания по поводу теорий Абрагама и Ми, высказанные в обзорной статье, довольно типичны для Эйнштейна [103, с. 145]:
"Рассмотрим теории тяготения Абрагама и Ми. Теория Абрагама противоречит принципу относительности; теория Ми не удовлетворяет требованию равенства инертной и тяжелой массы замкнутой системы. Согласно теории Ми, при нагревании тела возрастает, в соответствии с приростом энергии, инертная, а не тяжелая масса тела; последняя в случае
газа с повышающейся температурой может даже уменьшаться" [Русский перевод, с. 389-390].
Дополняя это высказывание, Эйнштейн признавал, что температурный эффект, предсказываемый теорией Ми, слишком мал для наблюдения, но заявлял о необходимости выполнения в принципе указанного условия равенства масс. Упоминались и два других эффекта, поддающиеся наблюдению. Почти во всех статьях Эйнштейна по соответствующей теме можно найти замечания о том, что его теория предсказывает красное смещение для света, испускаемого источником в гравитационном поле, а также что луч света, проходящий вблизи Солнца, должен испытывать - отклонение на 0,83". Нордстрем, главный соперник Эйнштейна в период между 1913 и 1915 гг., в статье с изложением своей второй теории утверждал, что эта теория предсказывает такое же красное смещение, как и теория Эйнштейна [264, с. 549]. Поскольку Нордстрем предполагал постоянную скорость света, его теория не предсказывает отклонения светового луча в гравитационном поле. Что же касается смещения перигелия, мы уже видели, что Нордстрем по своей второй теории вычислил его лишь для Земли, отметив малость этого эффекта по сравнению с астрономическими возмущениями. Он пришел к следующему выводу [265, с. 1109]:
"...можно сказать, что законы, выведенные для свободного падения тел и движения планет, очень хорошо согласуются с опытом. Как показал г-н Бехаккер, то же самое справедливо и в случае, когда вычисления основаны на моей первоначальной теории тяготения. Сравнение законов движения, представленных в обеих теориях, ясно показывает, что в новой теории эти законы принимают более простую и стройную форму".
Если Нордстрем сам вычислил смещение перигелия для Меркурия, а это было бы нетрудно сделать при наличии формулы (7.10), то почему он думал, что полученный результат, дающий обратное смещение перигелия, равное 7" в столетие, согласуется с наблюдениями? Он был совершенно прав, утверждая, что рассматриваемый эффект мал по сравнению с возмущениями от других планет. Эти возмущения в случае Меркурия, например, приводят к движению перигелия около 500" в столетие. Однако указанное обстоятельство вряд ли могло навести Нордстрема на мысль, что его теория согласуется с наблюдениями. Это означало бы, что Нордстрем совершенно не знал о жарких дискуссиях по поводу аномального смещения перигелия Меркурия, протекавших в течение 60 лет. Правда, движение перигелия, которое требовалось объяснить в теории Нордстрема, составляло 49" в столетие, что не так уж отличалось от соответствующего значения 42"
в ньютоновой теории. Если эти 42" не считали аномалией для ньютоновой теории, то подобное же можно было сказать и о 49" в отношении теории Нордстрема. На мой взгляд, основная причина такого отношения Нордстрема и вообще недостаточного внимания к перигелию Меркурия как к аномалии, которую должна объяснить любая теория тяготения, состояла в том, что тогда весьма серьезно воспринималась гипотеза Зеелигера. Как обсуждалось в гл. 4, в 1906 г. Зеели-гер приписал смещение перигелия 42" в столетие и некоторые другие аномалии в движении планет влиянию диффузного вещества, окружающего Солнце, часть которого была причиной зодиакального света. С этой точки зрения, смещение на 42", о котором идет речь, вовсе не было аномальным для ньютоновой теории. Если Нордстрем полагал, что вытекающее из его теории дополнительное смещение 7" можно объяснить таким же образом, так думал не только он один. В 1918 г. Гарольд Джеффрис предположил, например, что дополнительное обратное смещение 7,4" в столетие, следующее из теории Зильберштейна, можно объяснить, принимая несколько более высокую плотность пылевого вещества, чем в гипотезе Зеелигера.
По-видимому, Эйнштейна также не смущало обратное смещение перигелиев планет, следующее из теории Нордстрема. В своем обзоре, выдержку из которого мы уже приводили, он писал в отношении теории Нордстрема [103, с. 145]:
"В противоположность [теориям Абрагама и Ми], недавно выдвинутая теория тяготения Нордстрема удовлетворяет как принципу относительности, так и условию сохранения гравитационной энергии замкнутой системы с одним ограничением, которое будет указано далее. Противоположное утверждение Абрагама в его статье, опубликованной в этом журнале, неправильно. Вообще я считаю, что против теории Нордстрема нельзя почерпнуть из опыта какое-нибудь основательное возражение."
Тем не менее Эйнштейн все же полагал, что в конце концов такой аргумент будет найден. В декабре 1913 г. на конференции в Вене он обсуждал теорию, созданную им совместно с Гроссманом [109], и вторую теорию Нордстрема. Нордстрем встречался с Эйнштейном в Цюрихе в течение 1913 г., а статья, в которой была изложена его вторая теория, появилась в Цюрихе в июле 1913 г. Работа, где приводилось полученное им значение обратного
смещения перигелия, датирована январем 1914 г. (Хельсинки), так что нельзя сказать, знал ли Эйнштейн об этом эффекте месяцем раньше, По мнению Эйнштейна, единственный способ получить эмпирические свидетельства, позволяющие сделать выбор между его теорией и теорией Нордстрема, состоял в измеренииотклонения света звезд во время солнечного затмения, поскольку скалярная теория Нордстрема не предсказывала такого отклонения. Эйнштейн выразил надежду, что "к важным результатам приведет уже наблюдение солнечного затмения 1914 года" [101, с. 1262; русский перевод, с. 298]. Ту же мысль он высказал в своей прощальной лекции, прочитанной 9 февраля 1914 г. в Цюрихе, перед переездом в Берлин
[104, с. 6]:
"Выбор между двумя теориями должен быть сделан на основе,сравнения с опытом, поскольку, согласно теории Эйнштейна - Гроссмана, в противоположность теории Нордстрема, гравитационное поле должно приводить к искривлению световых лучей. Поскольку единственным гравитационным полем, могущим дать наблюдаемое на опыте искривление света, является гравитационное поле Солнца, предпринимается тщательная подготовка к солнечному затмению в августе 1914 г.: фотоснимки неподвижных звезд, близких к краю солнечного диска, должны установить, действительно ли существует искривление световых лучей" [русский перевод,
с. 318].
Измерением отклонения света звезд во время солнечного затмения
1914 г. занялся знакомый Эйнштейна, астроном Эрвин Фрейндлих *. Первая экспедиция такого рода, организованная Кордовской обсерваторией в 1912 г. (количественная оценка эффекта была предсказанаЭйнштейномв 1911 г.), потерпела неудачу из-за плохой погоды. Фрейндлих решил наблюдать затмение 1914 г. в Крыму, и экспедиция прибыла на место наблюдений. Однако вскоре началась первая мировая война. Фрейндлих был интернирован и после обмена пленными в сентябре 1914 г. вернулся в Берлин. Теперь стало ясно, что надежды на быстрое решение вопроса о выборе между теориями Эйнштейна и Нордстрема на основе эксперимента не оправдались. Измерения отклонения световых лучей нельзя было выполнить в условиях войны, а предложения применить уже существующие фотоснимки затмений или же внезатменную фотографию либо использовать Юпитер в качестве отклоняющего тела были невыполнимы. К тому же обе теории предсказывали одинаковое красное смещение, так что наблюдения красного смещения в спектре Солнца в то время не позволяли выбрать ту или иную теорию, если бы даже удалось доказать, что наблюдаемые красные смещения имеют гравитационную природу.Единственная альтернатива была связана с предсказаниями смещения перигелия. К началу 1915 г. было известно,
что теория Эйнштейна - Гроссмана давала для Меркурия смещение, равное 18" в столетие (результат, полученный Дро-сте). Если допустить, что значение Ньюкома 42" в столетие действительно аномально, то теория Эйнштейна выглядела более предпочтительной, поскольку соответствующий аномальный остаток составлял 24" по сравнению с значением 49", которое следовало из теории Нордстрема. Однако как Эйнштейн, так и Нордстрем считали, что кроме предсказания отклонения световых лучей нет никаких эмпирических аргументов, позволяющих выделить ту или иную теорию. Поэтому можно было только предполагать, что смещение перигелия Меркурия не являлось аномальным, а господствующая гипотеза, объясняющая этот эффект, - гипотеза Зеелигера - была обоснованной. Фрейндлих, желая проверить идеи Эйнштейна и потерпев неудачу с единственным, как тогда казалось, экспериментом, позволяющим сделать такой выбор, обратился в конце 1914 г. к другому эффекту, для которого рассматриваемые две теории давали разные оценки, - к движению перигелиев планет. Но гипотеза Зеелигера исключала аномалию, свойственную движению Меркурия, из числа возможных свидетельств в пользу или против той или иной теории. Неудивительно поэтому, что именно эта гипотеза привлекла внимание Фрейндлиха. 27 февраля 1915 г. он послал в журнал Astronomische Nachrichten статью, в которой показывал, что гипотезу Зеелигера вообще нельзя использовать для объяснения смещения перигелия Меркурия.
Любопытно отметить, что Зеелигер опубликовал свою гипотезу в 1906 г., и, таким образом, статья Фрейндлиха появилась с запозданием на восемь лет. Это наводит на мысль, что уже в начале 1915 г. Эйнштейн вычислил соответствующее смещение перигелия *. В результате возникла необходимость показать несостоятельность гипотезы Зеелигера. Однако такое предположение противоречит утверждению Лан-цоша, что окончательные уравнения поля не могли быть получены до осени 1915 г. [199]. Приведенные выше соображения, по-видимому, лучше объясняют, почему статья Фрейндлиха была написана в начале 1915 г. Становится также ясным, отчего в обсуждаемых нами теориях так мало внимания уделялось предсказаниям смещения перигелия. Однако приведенное объяснение нельзя назвать безупречным. Сам Эйнштейн в письме к Зоммерфельду от 2 февраля 1916 г. высказался о нападках Фрейндлиха на гипотезу Зеелигера сле-цующим образом [303, с. 380]:
* В книге [302] подробно описаны взаимоотношения между Эйнштейном и Фрейндлйхом.
* Подобное предположение высказывается в работе [303].
"Фрейндлих был единственным из моих коллег, оказавшим мне эффективную поддержку при разработке общей теории относительности. Он посвятил годы творчества и труда решению этой проблемы, насколько позволяла ему скучная и тяжелая работа в обсерватории. У Фрейндлиха есть и еще одна заслуга. Я не имею в виду его опровержение теории Зеелигера, объясняющей смещение перигелия Меркурия, которое можно, пожалуй, сравнить с попыткой ломиться в открытую дверь. Однако Фрейндлих показал, что возможности современной астрономии вполне достаточны для доказательства отклонения световых лучей вблизи Юпитера. Я не считал такое доказательство возможным, хотя и обдумывал этот вопрос несколько лет назад. Связь с астрономией - именно этого мне не хватает".
Отклонение света звезд Юпитером составляет, согласно общей теории относительности, лишь 0,02", и надежды Фрейндлиха измерить это отклонение оказались безосновательными. Возможно, замечание Эйнштейна не следует воспринимать серьезно. В конце концов, если даже гипотеза Зеелигера была "открытой дверью" до того времени и даже после, ее считали вполне достаточной для объяснения аномалии, свойственной движению Меркурия. К тому же, как отмечалось в гл. 4, эта гипотеза объясняла движение узлов орбиты Венеры, которое в течение долгого времени рассматривалось как эффект, аномальный для теории относительности.
В свете сказанного можно также коснуться статьи Дрос-те, в которой приводилось значение 18", полученное в теории Эйнштейна - Гроссмана, в сравнении с наблюдаемым смещением 44" в столетие. Эта статья была написана до работы Фрейндлиха, и замечание последнего "наблюдаемое движение составляет 44"" свидетельствует о том, что он осознавал необходимость полностью объяснить значение 44". Однако такая позиция полностью согласуется с отношением к гипотезе Зеелигера, проявленным де Ситтером, также получавшим смещение 18" в столетие. Как уже отмечалось в гл. 4, по мнению де Ситтера, гипотеза Зеелигера сводилась к простому определению количества вещества вокруг Солнца на основе избыточного движения перигелия Меркурия. Эта гипотеза могла полностью объяснить аномальное смещение, выведенное Ньюкомом, но если появлялась "более хорошая" теория, предсказывающая какое-то смещение перигелия, то предполагаемое количество околосолнечного вещества соответственно сокращалось. В опубликованных в 1916 г. статьях, знакомивших английских ученых с общей теорий относительности, де Ситтер охарактеризовал гипотезу Зеелигера не как несостоятельную, а как "излишнюю". Учитывая эту ситуацию, не приходится удивляться, что смещение периге-
лия Меркурия не считалось эффектом, позволяющим произвести проверку новых теорий тяготения. Также неудивительно, что Фрейндлих, обеспечивая эмпирические свидетельства и поддержку теории Эйнштейна, решил выступить с опровержением гипотезы Зеелигера. Итак, наконец, был выявлен эмпирический аргумент, доказывающий превосходство теории Эйнштейна над теорией Нордстрема, и это сыграло-некоторую роль в выборе Эйнштейном направления дальнейших исследованией в начале 1915 г. В противном случае склонность Эйнштейна к оценке теорий
a priori помешала бы ему вернуться к своей теории 1912 г., которая предсказывала смещение перигелия Меркурия, равное 27" в столетие-Эмпирические данные послужили стимулом к разработке-Эйнштейном его теории тяготения, и осенью 1915 г. после нескольких месяцев неудач эта теория была завершена.Я хочу рассмотреть общерелятивистское предсказание прецессии планетных орбит на основе четырех составных частей этой теории. Создавая ее, Эйнштейн опирался на принципы эквивалентности и ковариантности. Для описания пространственно-временных интервалов он использовал неевклидову геометрию. Наконец, он исходил из требования, чтобы; специальная теория относительности была справедливой повсюду при отсутствии гравитационного потенциала и локально, при наличии такого потенциала. Указанные четыре компонента будут теперь рассмотрены с учетом их влияния на движение перигелиев планетных орбит.
7.5. Специальная теория относительности и смещение перигелия Меркурия
Из специальной теории относительности, введенной в. 1905 г. как теория электродинамики, следует изменение массы в зависимости от скорости. В этом ее нельзя назвать уникальной, поскольку электронная теория Лоренца давала такую же зависимость от скорости, и аналогичные соотношения были предложены Абрагамом, Ланжевеном и Бухерером. Эксперименты Кауфмана свидетельствовали в пользу последних трех соотношений, но в 1908 г. опыты Бухерера показали,, что формула Лоренца - Эйнштейна точнее, и этот результат был подтвержден более поздними исследованиями. Релятивистское соотношение относилось к полной массе, тогда как,, согласно прежним представлениям, изменение массы со скоростью относится лишь к электромагнитной составляющей массы, а "собственная" масса остается постоянной. Влияние-изменения скорости на "электромагнитную" массу рассматривалось астрономами уже в 1902 г., и Джордж Дарвин, например, в своей вводной лекции по небесной механике говорил^ [73, с. 10]:
"Новые теории электричества, с которыми связывают имя проф. Томсона, показывают, что массу можно рассматривать просто как электродинамический феномен. Эта точка зрения, по-видимому, сделает необходимым пересмотр принятых нами законов динамики. Во всяком случае, было бы странно, если бы нам пришлось считать электродинамику фундаментальной наукой и, следовательно, выводить из нее обычные законы движения. Насколько носятся в воздухе эти идеи, говорит тот факт, что на конгрессе астрономов, состоявшемся в 1902 г. в Геттингене, почти целый день дискуссии был посвящен астрономическим результатам, вытекающим из новой электронной теории". Очевидно, Дарвин имел в виду состоявшуюся в августе 1902 г. в Геттингене конференцию Астрономического общества, где он прочитал доклад. Возникшая там дискуссия нашла свое отражение в печати: "в 3 ч пополудни (5 августа) в Химическом институте университета состоялась лекция, сопровождающаяся демонстрацией проф. Рикке и д-ром Кауфманом катодных и беккерелевых лучей, за которой последовала оживленная дискуссия. Затем г-н Лебедев говорил о физических причинах отклонений от ньютонова закона тяготения
" (Vierteljahrsschr. Astr. Gesel., 1902). Доклад П. Н. Лебедева был посвящен в основном кометам и образованию кометных хвостов, так что замечание Дарвина относится к лекции Рикке - Кауфмана и последующей "оживленной дискуссии".Незадолго до того, в 1900 г., Вин обсуждал эффект изменения массы в зависимости от скорости [387, 388]. При этом он ссылался на статью Лоренца, в которой рассматривались различные электродинамические теории тяготения [230]. Указанная статья уже упоминалась нами в гл. 6, и можно лишь заметить, что в ней Лоренц должен был учесть движение Солнца сквозь эфир. Вин обнаружил, что эффект, обусловленный электромагнитной массой (при использовании выражения Сирла для энергии двинсущегося заряженного эллипсоида) формально получается таким же, как при использовании обычной массы в законе тяготения Вебера, если вместо единичного коэффициента принять 15/16. При этом Вин добавил [388, с. 509]:
"Хорошо известно, что использование закона Вебера по-.зволило достигнуть определенного успеха в развитии теории движения Меркурия".
Таким образом, в рассматриваемом случае можно было ожидать такого же расчетного значения смещения перигелия, как и при применении закона Вебера, т. е. около 7" в столетие. На конференции Астрономического общества в Лунде Виль-кенс [390] рассмотрел проявление влияния электромагнитной .массы через вековые изменения элементов планетных орбит.
Для смещения перигелия Меркурия он получил значение 3,5" в столетие и пришел к выводу, что "представления новой электродинамики согласуются с астрономическими наблюдениями" [390, с. 212]. В 1906 г. его результаты были опубликованы вновь [391], по-видимому, как ответ на статью Вак-кера [370] (а скорее всего, для заявления приоритета). Для теорий эфира, использующих понятие абсолютной скорости, имела значение скорость Солнца относительно эфира. Предполагая, что Солнце покоится относительно эфира, Ваккер получил, что смещение перигелия Меркурия за столетие в соответствии с гипотезой Абрагама об изменении массы должно составлять 5,8", а согласно гипотезе Лоренца, - 7,2". На основе гипотезы Абрагама о "недеформируемых" электронах (в 1906 г. казалось, что эксперименты Кауфмана подтверждают именно ее, а не гипотезу Лоренца) указанное значение было перевычислено в предположении, что эфир связан с системой неподвижных звезд. Таким образом, Солнце должно перемещаться относительно эфира, но смещение перигелия должно было зависеть от координат апекса. При А
= 270°, D = 36° движение перигелия получалось равным 6,5", а при А - 270°, D = 0° смещение составляло 5,0" в столетие. Ваккер отмечал, что эти значения малы по сравнению с наблюдаемым смещением 40" в столетие, и задавал вопрос, можно ли определить абсолютную скорость Солнечной системы так, чтобы представить наблюдаемое движение всех планет.Аналогичные результаты приводились также Пуанкаре в его лекциях, прочитанных в 1906-1907 гг. [287, гл. 11-12, с. 236]. Он получил общую формулу для смещения перигелия, из которой следовало значение 5,6" при условиях, соответствующих гипотезе Абрагама, и
7" при условиях, определяемых гипотезой Лоренца.Однако вскоре исследования в этом направлении прекратились, и из более поздних работ ему была посвящена лишь диссертация Ваккера, написанная в Тюбингене под руководством Р. Ганса [370]. Новый подход состоял в нахождении такого закона тяготения, который являлся бы инвариантным относительно преобразований Лоренца, а для покоящихся тел сводился бы к закону Ньютона. Первым этот подход применил Пуанкаре [285, с. 129-176, § 9, с. 538-550]. Он отмечал [287, с. 149]:
"В настоящее время у нас нет удовлетворительного объяснения природы притяжения. С другой стороны, у нас нет и серьезных оснований для модификации закона Ньютона. Наиболее значительное расхождение проявляется в движении перигелия Меркурия. Однако возможно (vraisemlable), что эта аномалия обусловлена существованием кольца, как было показано в гл. IV".
Получив решение задачи в общей форме, Пуанкаре обнаружил, что она допускает любое число действительных решений. Для простоты он ограничился исследованием двух гипотез. Согласно первой из них, скорость распространения гравитационного действия должна быть выше скорости света. При этом, однако, в некоторых случаях проявлялся эффект упреждения (гравитационное действие оказывалось зависящим от положения, еще не достигнутого телом), допустить существование которого Пуанкаре не решился. Поэтому он предпочел вторую гипотезу, при которой скорость распространения принималась равной скорости света. Правда, оказалось, что к ней применимо возражение Лапласа против такой скорости, но мы уже указывали на отношение к нему Пуанкаре (см. цитату на с. 152). Пуанкаре не дал астрономических следствий этого закона, но поскольку помимо компонента силы взаимодействия, направленного вдоль линии, соединяющей центры тел, существует и компонент, параллельный скорости притягивающего тела, очевидным результатом является смещение перигелия. В статье, опубликованной в 1908 г., Пуанкаре посвятил астрономическим следствиям один из разделов. Он нашел, что для неподвижного притягивающего центра его гипотеза в наблюдательном отношении неотличима от обычного ньютонова закона тяготения, дополненного представлениями Лоренца о "деформируемых" электронах [286, с. 386-402, 577-579, 580-581]. В обоих случаях получалось смещение перигелия Меркурия на 7" в столетие, в то время как гипотеза Абрагама давала 5,6", а из закона Вебера было выведено значение 14". Как уже отмечалось в гл. 6, последнее значение (впервые полученное Тиссера-ном). было ошибочным, а из закона Вебера следовало смещение перигелия 7" в столетие. Таким образом, работа Пуанкаре подтвердила результаты, полученные Вином и Вак-кером. Пуанкаре пришел к следующему заключению [286, с. 581]:
"Итак, единственным ощутимым эффектом, проявляющимся в астрономических наблюдениях, должно быть смещение перигелия Меркурия, совпадающее по направлению с реально наблюдаемым, но заметно меньшее по величине. Это нельзя считать аргументом в пользу новой динамики, поскольку в любом случае нужно искать иное объяснение для большей части аномалии, связанной с движением Меркурия. Однако опять-таки его ни в малейшей мере нельзя считать и аргументом против нее".
В своих лекциях 1906-1907 гг. Пуанкаре при объяснении аномалии в движении перигелия Меркурия отдал предпочтение гипотезе околосолнечного "материального" кольца. Плотность кольца была выбрана таким образом, чтобы удовлет-
ворить требуемому числовому значению аномалии *. Как подчеркивалось выше, принятие этой гипотезы не позволяло использовать аномалию в движении перигелия для проверки гравитационных теорий при отсутствии независимых оценок плотности возмущающего вещества.
Минковский предложил лоренц-инвариантную форму закона Ньютона, но его модификация в наблюдательном отношении не отличалась от обычной формы. Сам Лоренц получил выражение, аналогичное приведенному Пуанкаре, которое предсказывало смещение перигелия Меркурия, равное 6,69" в столетие** [230, с. 1239-401. Он отмечал, что судить о значении полученного результата трудно, учитывая неопределенность, связанную с гипотезой Зеелигера. В то же время он выражал надежду, что скорость движения Солнечной системы сквозь эфир можно будет измерить с помощью метода, впервые предложенного Максвеллом, т. е. определяя, зависят ли моменты затмений спутников Юпитера от положения Юпитера относительно Земли. Измерение этой скорости позволило бы определить смещение перигелия в соответствии с теорией эфира.
Де Ситтер [78] дал свою интерпретацию указанных результатов. Подвергнув критике работу Вилькенса, он рассмотрел модификации ньютонова закона всемирного тяготения, предложенные Минковским, Пуанкаре и Лоренцем. Как им отмечалось, единственным поддающимся наблюдению следствием предложенного релятивистского закона является смещение перигелия Меркурия на 7,15" в столетие, а гипотеза Зеелигера позволяет полностью объяснить эту аномалию. В то же время де Ситтер указывал, что подходящая формулировка лоренц-инвариантного закона дает возможность получить любое значение смещения, кратное 7,15". Если вместо инвариантной безразмерной величины С в выражении для силы использовать инвариантную величину С", то из него следует смещение перигелия 7,15" п. Очевидно, значение аномалии Ньюкома можно получить при п = 6. Высказанные де Ситтером соображения соответствовали выводу Пуанкаре о существовании произвольного числа вариантов закона, удовлетворяющих поставленным условиям. Лишь из соображений простоты Пуанкаре ограничился выбором п=1. Позже Уитроу и Мордух [384, с. 792] провели аналогичный анализ закона, предложенного Пуанкаре.
* Такое объяснение содержалось в кратком изложении лекций, опубликованном в 1905 г
Лоренц считал гипотезу Зеелигера приемлемой, но открытие аномалии, свойственной Меркурию, он приписывал Лапласу.
7.6. Неевклидова геометрия и смещение перигелия ? -
Когда, говоря об общей теории относительности, употребляют термин "искривленное пространство", то подразумевают искривленное пространство-время. Общее выражение для элементарного интервала
ds таково:ds2 = gilvdxlldxv, (7.11)
где использовано условие суммирования Эйнштейна, а и. и v принимают значения от 1 до 4, причем {х\, х
2, xs, x4} = {х, у, z, ici). Евклидов, или плоский, пространственно-временной интервал определяется выражениемds2 = dx2 + dy2 + dzz - c2dt2. - (7.12)
Однако Эйнштейн стал считать десять величин
g^ (десять, поскольку g^, = gvp) функциями физических свойств материи в рассматриваемой области, так что ньютонов потенциал входит в урав- нение (7.11) через посредство gfp.v Тогда элементарный интервал ds уже не является плоским, или евклидовым, если не рассматривать случай отсутствия материи.Понятие пространства-времени было введено Минковским в 1908 г., но и до этого искривленное
пространство фигурировало в теориях движения планет. Большинство работ такого рода имело чисто математический характер, и лишь в немногих статьях обсуждались наиболее явные наблюдательные следствия. Центральный вопрос состоял в том, что следует принимать в качестве закона тяготения. В сферическом пространстве с радиусом кривизны
R расстояние между двумя точками будет не 2q, а 2г, как показано на рис. 7.1. Можно видеть, что q = Rsma и что г = Ra, где а выражено в радианах. Следовательно, мы получаемq = R sin (r/R). (7.13)
Эвристический аргумент в пользу закона обратных квадратов состоит в том, что поток, измеренный на данном элементе сферической поверхности радиуса г, уменьшается обратно пропорционально квадрату г, поскольку площадь сферы равна 4jt/-
2. Площадь такой сферы в нашем искривленном пространстве равна inR2 sin2(r/R), так что, в соответствии с
этим аргументом обобщенный закон тяготения представляется следующим образом:
где использованы общепринятые обозначения. Это выражение можно получить и из потенциальной функции
(7.15)
|
поскольку |
||
|
р - ди - |
_ ас/ |
да |
|
5а |
дг |
GMm
sin2 (r/R)
Форма, представленная уравнением (7.14), была использована Киллингом [191], а уравнение, подобное (7.15),- Карлом Нейманом [252]. Оба они вывели эквиваленты законов Кеплера для сферического пространства. Либман [222] получил аналогичный результат для гиперболического пространства. В его выражении сила притяжения была обратно пропорциональной
R2sh2(r/R). В сущности, Либман следовал методу Бертрана, который в 1873 г. рассмотрел вопрос о том, какие силы, зависящие от расстояния, приводят к движению по замкнутым орбитам. Именно этот анализ был использован Асафом Холлом, предложившим в 1894 г. гипотезу, исходя из которой Саймон Ныоком в 1895 г. получил смещение перигелия Меркурия. Однако в своей статье Либман не упоминал о таком приложении.Принимая закон тяготения, аналогичный ньютонову, Кил-линг и Нейман в итоге получили непрецессирующие эллиптические орбиты. Сравнительно недавно Лензе [213] рассмотрел гипотетический случай, когда закон Ньютона считается справедливым, но применяется в сферическом эллиптическом пространстве. В этом случае мы можем по-прежнему применять выражение
F-^r-. (7.16)
но вместо
г должны сделать подстановку согласно (7.13), что дает намGMm
R2 [arcsin {qlR)YВторой член в этом выражении представляет собой постоянную силу, действующую помимо основной силы, определяе-
8 Зак. 260
мой законом обратных квадратов. Именно эта постоянная сила ответственна за смещение перигелия. В соответствии с теоремой Ньютона влияние этой силы приводит к смещению перигелия со скоростью
2n/3R2 за оборот. Лензе вывел для смещения перигелия следующее выражение:Исходя из соображений, касающихся звездных параллаксов, Шварцшильд в 1900 г. получил нижнюю оценку
R, которая при подстановке в уравнение (7.12) привела к значению смещения перигелия, составляющему 1""-10 э в столетие. Учитывая малость рассматриваемого эффекта, Лензе повторил свои вычисления, используя формулы небесной механики, описывающие изменения, обусловленные воздействием возмущающих сил. При этом в качестве возмущающей силы рассматривался второй член уравнения (7.17). Он нашел, что вековое смещение перигелия в единицу времени должно составлять c/3R2, где с - скорость планеты. Этот результат согласуется с полученным нами "ньютоновым" значением, поскольку один оборот происходит за 2л/с единиц времени.Чтобы получить движение перигелия, соответствующее наблюдаемому, требуется гораздо меньшее значение
R, т. е. гораздо большая кривизна. Поскольку для Вселенной в целом предполагаемое значение кривизны было бы слишком велико, она должна иметь локальный характер. Выражаясь фигурально, можно сказать, что Эйнштейн сделал кривизну локальной и к тому же переменной, предположив ее зависимость от массы тел.Таким образом, кривизна (пространства-времени) вблизи Солнца должна быть максимальной, и соответственно наибольшее ее влияние должна испытывать планета, ближайшая к Солнцу, т. е. Меркурий.
Другая проблема состоит в определении природы связи между материей и кривизной пространства-времени. Часто упоминаемые ранние идеи Клиффорда [64], согласно которым материю можно рассматривать как локальную кривизну пространства, а материальные частицы представляют собой
"крутые бугорки" на евклидовой плоскости, оказались несостоятельными. Предположение Фитцджеральда [114], что "гравитация, по-видимому, связана с перестройкой структуры (эфира), вызванной присутствием материи" (см. [202, с. 313]), было уже ближе к истине, но ничего не говорило о природе этой перестройки. Требовалось разработать а) количественное соотношение между свойствами материи и окружающего пространства и б) теорию, лежащую в основе этого соотношения и объясняющую его. Ниже мы увидим, что прин-цип эквивалентности дает ключ к пониманию природы соотношения (а) в рамках представлений о пространстве-времени. Общерелятивистский вариант соотношения (а), элементарный интервал Шварцшильда, вполне достаточен для описания трех классических предсказаний общей теории относительности. Однако его можно получить и из других теорий, так что между соотношением (а) и общей теорией относительности нет однозначной связи. Лишь эйнштейновские уравнения поля дали теорию (б), на основе которой с помощью приближенных методов Эйнштейн в конце 1915 г. получил соотношение (а). Исходя из этой теории, в начале 1916 г. Шварцшильд, а вслед за ним и Дросте получили то, что мы называем элементарным интервалом Шварцшильда. В приведенном ниже обсуждении мы не будем касаться уравнений поля.
Наконец, по-видимому, следует заметить, что, поскольку работа Лензе появилась в 1917 г., рассмотрение проблемы в последних разделах не следует хронологическому порядку. Однако содержание этой дискуссии можно отнести к любому моменту времени после опубликования статьи Шварцшильда о возможной кривизне Вселенной. ., -v.- _-
7.7. Принцип эквивалентности и смещение перигелия
Принцип эквивалентности, сформулированный Эйнштейном в 1907 г., сыграл центральную роль в разработке общей теории относительности [97]. Он послужил фундаментальной основой для уже давно известного факта равенства гравитационной и инертной масс, установленного экспериментально с высокой точностью Этвешем в 1890 г. Оставляя пока в стороне иные его формулировки, отметим, что, согласно этому принципу, наблюдатель не может различить, находится он в однородном гравитационном поле или же в равномерно ускоряющейся системе отсчета.
Наиболее сильным подтверждением связи этого принципа со смещением перигелия Меркурия стала работа Кай Ча Чена, опубликовавшего в 1945 г. метод вычисления смещения перигелия непосредственно из принципа эквивалентности [189]:
"Известно, что эффекты первого порядка, описанные в общей теории относительности, можно вывести из принципа эквивалентности. Эта заметка служит иллюстрацией. Принцип эквивалентности требует, чтобы вдоль направления поля изменение длины в первом приближении происходило в отношении
dr: {l+X/r)dr, где X = ОМ/с2, и чтобы интервал времени dt переходил в (l + X/r)~ldt. Однако длина в направлении, перпендикулярном полю, не испытывает изменений." Следовательно, кинетическую энергию можно представить в виде (Р
4г2 -4- Р282г2)/2, а лагранжиан соответственно ф4г2 + р262г2)/2 - V (г), где V(r) = -GM/r, P = 1 + V"-Составив лагранжевы уравнения, Чен посредством кропотливых выкладок, которые в его работе подробно не приводились, но были проверены мною, получил уравнение
"=^+3k2, (7.19)
где " = 1/г и А = р
2г20 == const. Поскольку аналогичное уравнение фигурирует и в общей теории относительности, отсюда следует такое же смещение перигелия.Коллега Чена, мисс Су Чин Кианг, в 1946 г. опубликовала небольшую статью, в которой, исходя из уравнения (7.19), оценила отклонение световых лучей в гравитационном поле Солнца. Она получила значение 2,61", использовав, правда, не вполне корректный метод, и пришла к заключению [352]:
"Этот результат, по-видимому, лучше согласуется с исправленными астрономическими данными, чем первоначальное значение Эйнштейна, составляющее лишь две трети от приведенного выше".
Здесь следует отметить, что измерения отклонения световых лучей в гравитационном поле всегда плохо согласовывались друг с другом. Более ранние наблюдения достаточно убедительно свидетельствовали в пользу общей теории относительности. Однако в 1929 г. экспедиция, которая возглавлялась Фрейндлихом, измерив отклонение, получила 2,24"+ + 0,10", что больше предсказанного Эйнштейном значения 1,75". Более поздние измерения, выполненные в 1936 г. в СССР, дали результат 2,73" + 0,31". По-видимому, Кианг имела в виду именно это значение. Хотя полное сообщение об измерениях в СССР не публиковалось вплоть до 1949 г., резюме статьи, где приводилось значение 2,71" +0,26", было получено журналом Physikalische Berichte в 1940 г. и напечатано в 1941 г.* Последующие измерения не подтвердили столь значительного отклонения.
Мы можем рассмотреть утверждение Чена, изложив его следующим образом. Плоский пространственно-временной элементарный интервал
ds в полярных координатах определяется выражениемds2 = dr2-\-r2dQ2 + r2 sin2 Bdcp2- с2 dt2. (7.20)
* См. Phys. Ber., 22, 934, 1941. Имеется в виду резюме работы "Измерение отклонения света гравитационным полем Солнца во время затмения 19 июня 1936 года", ДАН СССР (Нов. сер.), 29, с. 189. Более детально эти и другие измерения обсуждаются в [195].
Тогда, согласно Чену, принцип эквивалентности требует
l +.
> ,OR:j:|.Ht--Kit;
r2 sin2Qdq>2-с2 ( f
(7.21)
Уравнение (7.21) представляет элементарный интервал Шварц-шильда, который является частным решением уравнений поля, фигурирующих в общей теории относительности. Поэтому неудивительно, что Чен получил уравнение (7.19). Вопрос о том, откуда он взял необходимые формулы преобразований, был впервые поставлен Шильдом [315] в его рецензии на статью Чена. Этой теме посвящено, в сущности, совсем немного публикаций, и ее исследование продолжается до сих пор. Выражение элементарного интервала
ds, представленное уравнением (7.21), было выведено из уравнений поля Эйнштейна вначале Шварцшильдом [322], а через несколько месяцев и Дросте [93].Коттлер [196] пришел к этому выражению, исходя из определенных условий, включая требование, чтобы ньютоновы уравнения мировой линии получались как одно из приближений. Такой же подход использовал Эйзенхарт [ПО], а первый элементарный вывод принадлежит Филлипсу [282]. Он исходил из двух фундаментальных гипотез: гипотезы эквивалентности ("Ускорение системы отсчета эквивалентно гравитации") и гипотезы бесконечно малой окрестности ("В бесконечно малой окрестности мировой точки (события)
(x,y,z,t) всегда можно выбрать такую систему отсчета, в которой применима специальная теория относительности"). К тому же он учитывал требование предельного перехода к ньютоновой форме на больших расстояниях. Те же три постулата были положены в основу вывода, выполненного Симидзу [340]. По-видимому, утверждение Чена, что принципа эквивалентности достаточно для получения эквивалента решения Шварц-шильда, следует рассматривать лишь как фигуральное. Помимо этого принципа необходимо предполагать локальную применимость специальной теории относительности, а также переход в ньютонову форму в качестве приближения. Нам неизвестны другие выводы выражения для элементарного интервала Шварцшильда, опубликованные до статьи Чена, но в работе Зоммерфельда [345] для получения этого выражения была использована аргументация, предложенная В. Ленцем. Позже Эриксон привел аналогичный вывод и попутно высказал критические замечания по адресу работы Зоммерфельда [111, 112] (см. также [356]). Примеры такого подхода можнонайти и в сравнительно недавно опубликованных книгах, хотя против него были выдвинуты серьезные возражения. Ниже приведена аргументация Ленца в изложении Зоммер-фельда [345, с. 313-314]:
"Рассмотрим центрально-симметричное гравитационное поле, например поле Солнца, обусловленное массой М, которую можно считать покоящейся. Пусть замкнутая ячейка К°о падает в радиальном направлении к М. Поскольку это падение свободное, гравитация в К°с не проявляется и потому ячейка несет с собой евклидову метрику, справедливую на бесконечности. Координаты, измеренные внутри Кос, суть: *". (продольная, т. е. по направлению движения), ух
, Zoo (поперечные) и t^. На расстоянии г от Солнца /(", имеет скорость v. Величины v и г измеряются в системе отсчета К, связанной с Солнцем, испытывающей действие гравитации. В ней мы используем в качестве координат г, 8, ср и t. Соотношения между /Go и К определяются преобразованиями Лоренца, причем Кос играет роль системы, движущейся со скоростью v = рс, а К - роль покоящейся системы. Соотношения эти таковы:dxco = dr/s/(\ - р2) (Лоренцево сокращение длины) dt^ =dt -i/l - р2 (Эйнштейновское замедление времени)
^°°~~ \ (Инвариантность поперечной длины)
dYoo = г sin Э с?ф J
Следовательно, выражение для евклидова элементарного отрезка мировой линии
(9)
приобретает такой вид "'
-'''dsl = (1 - Р2)-1 dr2 + г2 (dQ2 + sin28dcp2) - с2 dt2 (I - р2). (9а) Множитель 1 - Р2, который употребляется здесь дважды, пока имеет смысл лишь в связи со специфическими условиями нашего мысленного эксперимента. Чтобы определить его смысл в системе отсчета, связанной с Солнцем, запишем уравнение энергии для Кос, как оно интерпретируется с точки зрения наблюдателя в системе К- Пусть т есть масса /(",, а то_ масса покоя. Тогда уравнение принимает вид
{m-mo)c2-GMm/r = O. " . (10)
В левой части мы имеем сумму кинетической энергии, соответствующей уравнению (32.7) [Т =
m0c2{l/V 1 - Р2- 1} = =(т _ Шо) с2] и (отрицательной) потенциальной энергии гравитации. Постоянная энергии справа должна быть равной нулю, поскольку на бесконечности m = m0 и г = оо. Мы вы-числили потенциальную энергию, исходя из закона Ньютона, который мы рассматриваем как первое приближение. Разделив уравнение (10) на тс
2, получим, учитывая, что1 - V 1 - р
2 = а/г, а = GM/c2 = kM/8n, (10a)так что из уравнения (10а) следует, что V1 - р
2 = 1 - а/г, т. е.... -..- 1-р2~ 1 -2а/г ..,. п,,а, ,,".;,, и потому из уравнения (9а) вытекает ;t. '/.., ,*
ds2 = t^j^ + г2 (dQ2+sin2 Qdy2)-с2(I-2a/r)dt2.>> (12)
Уравнение, приведенное Зоммерфельдом, - это точное частное решение эйнштейновских уравнений поля, частное решение Шварцшильда. Принцип эквивалентности вводится в третьем предложении цитируемого отрывка, где в сущности говорится, что эффект свободного падения равнозначен эффекту пребывания в гравитационном поле. Зоммерфельду следовало бы дополнительно уточнить, что это гравитационное поле должно быть однородным. Иначе линии, нормальные к эквипотенциалям, оказываясь непараллельными, сходятся к центральному телу, в данном случае к Солнцу и эта сходимость может быть обнаружена. Как следствие принципа эквивалентности геометрия, свойственная системе КT по наблюдениям из К, может быть принята и в последней системе. Вид этой геометрии определяется преобразованием Лоренца, но для конкретизации ее содержания необходим ньютонов потенциал. Эриксон критиковал Зоммерфельда за то, что он "не провел четкого различия между дифференциалами координат и дифференциалами измеренных длины и времени" [112, с. 327]. Эриксон предложил свой собственный вывод, имея целью подчеркнуть различие между
dr и т. д. как измеренными интервалами, с одной стороны, и дифференциалами координат, с другой. Однако и его аргументация была далеко не безупречной и давала повод для критических замечаний.Сакс и Болл [312]* указали, что хотя Ленц и Эриксон получили выражение для элементарного интервала, который выглядит аналогичным элементарному интервалу Шварцшильда, их решение не является инвариантом и не имеет физического смысла. Если исходить из представленной Зоммерфельдом аргументации Ленца (для большей ясности можно сравнить замечания Сакса и Болла непосредственно с работой Эриксона [111, с. 171]), то для определения лоренцевского
* Сакс и Болл подвергли критике также статью Шиффа [314], но поддержали подход, предложенный Тангерлини [356].
сокращения длины и эйнштейновского замедления течения времени необходимы соответственно времениподобная и про-странственноподобная пара событий. Их подстановка в выражение для евклидова элементарного интервала приводит к нарушению инвариантности, поскольку элементарный интервал является инвариантом лишь в том
случае, если он соответствует разности координат для единственной пары событий. Найти же пару событий, которая являлась бы одновременно пространственноподобной и времениподобной невозможно. Позже Риндлер [306] показал, что в одном частном случае гравитационного поля подход Ленца приводит к абсурдным следствиям. Он также противоречит более ранним теориям тяготения. Этот подход требует, чтобы гравитационное поле (строго однородное) и равномерное ускорение были неразличимы, т. е. чтобы соблюдался сильный принцип эквивалентности (из которого вытекает и слабый принцип, утверждающий равенство инертной и гравитационной масс). Поэтому теории, которые удовлетворяют этому принципу и специальной теории относительности, и в пределе переходят в теорию Ньютона (например, вторая теория Нордстрема), в соответствии с указанным подходом также должны были бы приводить к метрике Шварцшильда, чего явно не происходит. Читатель может задать вопрос: какое отношение все сказанное имеет к теории Эйнштейна и смещению перигелия Меркурия? Дело в том, что Эйнштейн, отличавшийся склонностью к эвристическим аргументам, мог использовать оказавшийся справедливым аргумент такого рода для получения метрики Шварцшильда еще до вывода уравнений поля. Действительно, Эйнштейн применил принцип эквивалентности для получения некоторой промежуточной метрики, что мы и рассмотрим.Обсуждаемый аргумент был предложен Эйнштейном в 1911 г. [98, с. 101-107]. Он сравнил две системы, К и К', предполагая, что К находится в однородном гравитационном поле, в то время как К' свободна от гравитационного воздействия, но ускоряется вдоль оси г (в направлении роста г), которая совпадает с силовыми линиями гравитационного поля системы К (потенциал уменьшается с ростом
z). Две неподвижные точки S\ и S2 разделены расстоянием h на оси z системы К'. С точки зрения наблюдателя в третьей системе Ко системы К и К' занимают одно и тоже положение на оси z. Пусть далее ускорение К' равняется у, а разность гравитационных потенциалов между Si и S2 составляет yh. Создавшаяся картина показана на рис. 7.2. Из точки S2 в направлении S\ излучается энергия Е2. Пусть в этот момент скорость К' относительно Ко равна нулю. В первом приближении излучение проходит расстояние h между 52 и S\ со скоростью с за время h/c. Через время h/c наблюдатель в Ко измеряет ско-
рость Si, получая значение
v, причем ;о -3 .-.,. .>v = u + at = 0 + \ h/c = yh/c. (7.22)
Измеренная энергия этого излучения Ех
отличается от Е2, и соотношение между ними имеет видEl=E2{l + v/c). (7.23)
Это соотношение получается из формулы преобразования в специальной теории относительности:
~?(1 -о/2с)(1 - v/2c) = Е (1 - v/c).
Значение Е измеряется в покоящейся системе отсчета, а Е' - в движущейся системе. Таким образом, Е = ?ь а Е' = Е2 и
Рис. 7.2. Системы отсчета в работе Эйнштейна 1911 г.: Ко - наблюдатель (в состоянии покоя); К (в состоянии покоя); К' (ускорениеу)
[98].с точностью до первого порядка относительно и/с Ег
== = ?2(1 - и/с)-1 = ?2(1 +v/c). Подстановка уравнения (7.22) в (7.23) даетEi
= ?2(1 + yh/c2). -: (7.24)Здесь
yh - разность гравитационных потенциалов в точках Si и S2, и мы можем выбрать постоянные таким образом, чтобы потенциал Ф равнялся нулю в S2 и тогда Ф = yh. Таким образом, из уравнения (7.24) имеемй
' "' Ei = ?2(1 + Ф/с2). -: -.- (7.25)В последних преобразованиях (7.24) -(7.25) справедливость перехода от системы К' к системе К обосновывается принципом эквивалентности. Согласно его формулировке, принятой
Эйнштейном, в системах К' и К все законы физики должны быть одинаковыми (сильная эквивалентность).
Исходя из уравнения (7.25), Эйнштейн показал, что ча стоты vi и л?2 излучения связаны соотношением
; \'1 .v,=v2(l+R/c2). ' :[ ' (7.26)
Отсюда следовало, что линии в солнечном спектре должны быть смещены к красному концу на Ф/с
2 или на 2-Ю"6 по частоте. Это было первое количественное предсказание гравитационного красного смещения, и Эйнштейн заметил, что такой эффект уже наблюдался, но был приписан явлениям на солнечной поверхности.Далее Эйнштейн указал, что было бы абсурдным говорить об изменении частоты там, где она измеряется как число периодов в секунду, поскольку это число при излучении в
S\ должно быть таким же, как при приеме излучения в S2. Этого явного противоречия можно избежать, если считать, что измеренная единица времени - секунда - изменилась, или что временные интервалы являются функцией гравитационного потенциала. Поскольку частота есть число периодов в единицу времени, из уравнения (7.26) получаетсяили
= Л
2(1-Ф/с2).Таким образом, в гравитационном поле часы идут медленнее или время замедляет свое течение. Скорость света также является функцией потенциала, и если с
0- значение, соответствующее нулевому потенциалу, то из (7.26) имеемс = со(1+Ф/с§). (7.28)
Это соотношение Эйнштейн использовал в своей теории, предложенной в 1912 г., и точно такое же выражение (7.1) приведено нами в начале этой главы. Но как было выведено это соотношение? Вот что писал по этому поводу Эйнштейн [98, с. 106-107]:
"Отсюда вытекает следствие фундаментального значения для теории. Если скорость света измерять в различных местах ускоренной системы отсчета К' в отсутствие гравитационного поля, пользуясь одинаково идущими часами
U, то всюду будет получаться одно и то же значение. Согласно нашему основному допущению, то же самое справедливо для системы К. Однако отсюда следует, что в местах с различными гравитационными потенциалами при измерении времени мы должны пользоваться по-разному идущими часами. В том месте, которое относительно начала координат обладает гравитационным потенциалом Ф, мы должны при измерении времени применять часы, которые при перенесении их в начало координат шли бы в (1 + Ф/с2) раз медленнее, чем те часы, которыми определяется время в начале координат. Если мы обозначим через со скорость света в начале координат, то скорость света с в некотором месте с гравитационным потенциалом Ф будетравна
с = с
0 (1+ Ф/с2).По этой теории принцип постоянства скорости света справед лив не в той формулировке, в какой он кладется в основу обычной теории относительности". [Русский перевод, с. 172.] Здесь констатируется, что, во-первых, скорость света есть функция Ф и, во-вторых, ее локальное значение постоянно. Чтобы измерить скорость света с, мы посылаем пучок света по пути
dl, измеряем время его распространения dt и вычис ляем . . ,J
= dl/dt.
При наличии гравитационного потенциала Ф интервал времени преобразуется согласно уравнению (7.27). Чтобы сохранить постоянным измеренное значение скорости света, мы можем либо изменить
dl таким же образом, как dt, либо использовать часы, исключающие эффект, описываемый уравнением (7.27). Как отмечается ниже, Нордстрем в своей второй теории для сохранения постоянства скорости света выбрал первый из указанных способов. Эйнштейн, однако, предпочел другой путь. Если часы замедляют свой ход в 1 -f- Ф/с2 раз, то из уравнений (7.27) и (7.29) мы в первом приближении получаемdl dl
dt (I + Ф/с
2) (1 - Ф/с2) dt 'и измеренное значение с не зависит от Ф. Однако скорость света в поле с потенциалом Фь измеренная наблюдателем, который имеет потенциал Ф
2 и использует часы, идущие медленнее в (1 + Ф2/С2) раз, определяется выражениемdl ' "
dt
(I + Ф2/с2) (1 - Ф,/с2) -Если наблюдателю соответствует нулевой потенциал Ф
2 = 0, а с = с0, когда Ф1 и Ф2 имеют нулевое значение или равны, то указанное выражение принимает следующий вид:или, с точностью до первого порядка,
(7.30)
В результате получается соотношение Эйнштейна (см. уравнение (7.28). Таким образом, хотя оба упомянутых выше подхода гарантировали локальное постоянство скорости света, лишь подход Нордстрема предусматривал глобальное постоянство скорости света и глобальную применимость специальной теории относительности. В его теории отсутствовали отклонение световых лучей и вообще всякое взаимодействие электромагнитного и гравитационного полей. У Эйнштейна же специальная теория относительности считалась лишь локально применимой, в ней существовал эффект отклонения световых лучей; а также взаимодействие между электромагнитным и гравитационным полями.
В 1911 г. Эйнштейн получил такие же результаты, как и прежде, в 1907 г., когда он сформулировал принцип эквивалентности и вывел выражение для скорости света как функции потенциала. В 1907 г. он не принимал в расчет влияние ускорения на измеренные интервалы времени и длины [97, с. 455] и смог использовать преобразования Лоренца, применимые к равномерному движению, которые фигурировали в специальной теории относительности. Он рассматривал систему, падающую из состояния покоя с ускорением у. За время
t она приобретает скорость v - yt и проходит расстояние х. Этому расстоянию соответствует разность гравитационных потенциалов Ф = ух. Лоренцево преобразование интервала времени t в ? выражается формулойtf = (l - v2/c!l)-42(t - vx/c2), (7.31)
которая, если пренебрегать членами вида
v2/c2, сводится к ' Л t' = t - vx/c2. _{ . (7.31а)Подстановка
v - yt дает --- . t' = t - yxt/c1. (7.316)Гравитационный потенциал выражается как Ф = ух, и, по скольку, согласно принципу эквивалентности, эффекты сво бодного падения неотличимы от пребывания в гравитацион ном поле, мы можем подставить это выражение в уравнение (7.316), что дает
.. - _* ... ^ = /(1-Ф/с2). (7.31в)Уравнение (7.31в) аналогично результату, полученному Эйнштейном в 1911 г., который выражается уравнением (7.27). Преобразование Лоренца для расстояния а' выглядит так:
x/ = {l-v2lc2yll2(x-vt). (7.32)
Отбросив члены второго порядка, получим
x' = x-vt. (7.32а)
Это просто дорелятивистское галилеево преобразование, так что для гравитационного потенциала здесь нет места. Итак, согласно этой теории, длина не испытывает сокращения в гравитационном поле.
Если концепции замедления течения времени и сохранения длины, характерные для ранних подходов Эйнштейна к теории тяготения, выразить в виде пространственно-временной метрики, то получается метрика, промежуточная в сравнении с шварцшильдовской.
В метрике Минковского для плоского пространства-времени
ds2 = dl2 - с2 dt2 (7.33)
мы заменим скорость света с в соответствии с выражением (7.28). Если теперь принять, что с обозначает скорость света в отсутствие гравитационного поля, то промежуточная метрика получается подстановкой (7.28) в уравнение (7.33):
ds2 = dP-c2(l+4>/c2fdt2,
или, если пренебречь членом с с~
4, ' ' "ds2 = dl2 - c2(l+ 2Ф/с2) dt2.
Теперь можно подставить выражение гравитационного потенциала Ф = -
GM/r для тела массой М, где г - расстояние от тела, G - гравитационная постоянная. Метрика, представленная уравнением (7.34), принимает видds2 = dl2~c2(l-2GM/r-c2)dt2. (7.35)
Далее мы покажем, какое влияние оказывает промежуточная метрика на орбиту планеты. При этом будет использован метод Чена, упоминавшийся выше. Лагранжиан частицы дается уравнением
L = 42(r2 + r*?)-V(r), (7.36)
где первый член представляет кинетическую энергию частицы единичной массы, движущейся по плоской орбите с координатами
(r,Q). Ньютонов потенциал V(r) определяется выражениемV (г)
= -GM/r, (7.37)где М - масса центрального тела. В метрике (7.35) интервал
dr остается неизменным, но интервал dt преобразуется в dt':dt' = {\-klr)dt или dt' = $-ldt, (7.38)
где
P = l + Vf "' ' Vl' -'- (7.39)
И
к
= GM/cKИз уравнения (7.39) получаем
" *\ - j ,.'. ..-. м,-.<;* .. и',-.ч"' ..".';. . . dp/dr = -V2. :Z':"..'..-;'/V (7.41)
Следовательно, при использовании (7.37) и (7.38) лагранжиан (7.36) преобразуется к виду
L = у (р2г2 + г2р262) + GM/r = -i р2 (г2 + г2ё2) + GM/r. (7.42)
Далее . - ' : .-. а":.:
г2Ь2) + \ р2 92 2г -1
2 . о;
Следовательно, :!:::.;; - JL. I' ij!,i
if
(1) -- h
с/9
2и с учетом (7.48)
4 fo2-\ h<2
2-(7.50)
Используя уравнения (7.20), (7.41) и (7.48), из (7.42) получим
Тогда уравнение движения
(
dt\df
с учетом уравнений (7.43) и (7.44) приобретает вид
/ft2
Л q" i { № \ оЯ .о I ( h \ о А оИз уравнения (7.42) также получаем
3L
= 0,
-^4- = - р
2 2ёг2 =Тогда уравнение движения
ae
с учетом (7.46) и (7.47) принимает вид
или
pV26 = h = const. Подставляя и= \/г, из уравнения (7.48) находим
1 л
duи
2 dt " или, полагая ц ==
(7.46) (7.47)
(7.48)
C7.49)
Л
2или
(А)
ЛСогласно (7.39), р = 1 + Л,м. Поэтому с точностью до членов первого порядка относительно 1/с
2 получаем (З2 ~ 1 + 2А," и = Яр~' = X. Следовательно, уравнение (7.51) приобретаетGM , (2KGM
+ {
и = /г + 2йЯ" + 1и
2 k=-GMjh2.Решением уравнения й-{-и ~ k будет и = k(\ -{ ecosyQ). Подстановка этого выражения вместо и в уравнение (7.52) дает в первом приближении
" + и = k + 2?2А + 2/е2А,е cos YG + k2X +
+ 2fe2Xe cos yB = k + 3k2X + 4k2le cos v8. (7.54)
Частное решение уравнения и
+ и = A costp таковаТаким образом, последний член в уравнении (7.64) дает до полнение к и: , . . й Ui=2k2Xe Y8 sin Y9. '' *v- Следовательно, второе приближение имеет вид
и = k (1 + е cos Y9 + 2&AeY9 sin Y9) + 3&2л =
= k [ 1 -f e cos (Y8 - бй)] + 3^2A, (7.66)
где
Итак, мы получаем эллиптическую орбиту, перигелий которой с каждым оборотом смещается на величину бсо, причем
GM
__ __ ^ДА __ ^ __ ^ _ ( )
Общая теория относительности дает в этом случае величину
3GM/ac2(\-е2), так что вытекающее из данной теории значение составляет две трети требуемого.Мы можем рассчитать также эффект отклонения световых лучей, получаемый при использовании промежуточной метрики. При этом луч света фактически считается состоящим из частиц, приходящих из бесконечности. Таким образом, наше рассмотрение аналогично анализу, выполненному Зольднером, так что требуемое условие имеет вид
h = оо. Правда, этот анализ не столь фундаментален, как в общей теории относительности, где указанное условие вытекает из предположения, что ds = 0. Полагая h = оо, из уравнения (7.53) получаем k = 0. Подстановка в уравнение (7.52) дает.:,....,."ь\п rteV а
+ и = ы2 + хй2. -."У _' \: (7.57)Решением уравнения й
+ и = 0 является и ставляя его в (7.57), получаемй -4- ы = - A
Поэтому решением уравнения (7.57) является
и = cos Q/R - -??, 1/г = cos в//?
Таким образом,
(7.59)
Что представляет малое отклонение от прямой х = R. Принимая у з> л:, получаем асимптоты, для которых х
= /? zt(X/R)y. Поэтому полное отклонение светового луча2X/R=2GM/c2R 7? '
составляет половину общерелятивистского и равно значению, которое получил бы Зольднер, если бы не ошибся в два раза. Именно такое значение Эйнштейн получил в 1911 г., применяя принцип Гюйгенса, что было оправдано, поскольку фотоны не имеют массы покоя.
Итак, мы показали, что рассмотренная нами промежуточная метрика позволяет вывести смещение перигелия, составляющее две трети полученного при использовании метрики Шварцшильда, а также отклонение света, равное половине соответствующего значения. Шильд [316] вывел выражения для смещения перигелия и отклонения световых лучей в случае обобщенной метрики, и его результаты согласуются с приведенными выше. Гравитационное красное смещение определяется коэффициентом при
dt в метрике, поэтому во всех рассмотренных нами случаях непосредственно предсказывается "полное" красное смещение. Уитроу и Мордух [384, с. 792] показали, что отмеченные результаты следуют также из теории тяготения, разработанной Эйнштейном в 1912 г.Эвристические аргументы Филлипса, Ленца и др. были предложены с целью объяснить как замедление течения времени, так и сокращение длины, чтобы дать метрику Шварцшильда, имеющую следующий вид [ср. уравнение (7.21)]:
ds2 = (1 - 2Ф/с2) dr2 + r2 dQ2 + r2 sin2 8 dq? -
- с
2 (I+ 2Ф/с2) dt2. (7.60)Эта метрика дает возможность получить смещение перигелия, полностью соответствующее наблюдаемому. Поскольку гравитационное красное смещение определяется только коэффициентом при
dt, а он имеет такое же значение, как и в промежуточной метрике, метрика Шварцшильда также позволяет получить "полное" красное смещение. Влияние гравитационного потенциала на скорость света нетрудно оценить, полагая ds = 0 в уравнении (7.60). Выбрав d(.) = dq> - 0, т. е. радиальное решение, получим0 = (1 - 2Ф/с
2) dr2 - с2 (1 + 2Ф/с2) dt2, dr2{\- 2Ф/с2) = dt2 - с2 (1 + 2Ф/с2),-.
ы|0о i i ;<сТ= c2
(l +2Ф/С2)(1 -~
или
Таким образом, скорость света при наличии гравитационного потенциала Ф определяется выражением
), (7.61)
где со - скорость, соответствующая. Ф = 0. В этом выражении член, включающий потенциал, в два раза больше, чем в уравнении (7.28), которому соответствует промежуточная метрика. В 1911 г. Эйнштейн нашел, что угол отклонения на единицу пути светового луча при наличии гравитационного потенциала Ф определяется выражением (-1/с)
(ds/dn') или с учетом (7.30) (-1/с2) (дф/дп'). Тогда при использовании метрики Шварцшильда из выражения (-1/с) (ds/dn') следует величина (-1/с) (2/с) (дф/дп') или (-2/с2) (дФ/dn'). Этот результат в два раза больше значения, полученного в 1911 г., и полностью соответствует общерелятивистскому значению.Вывод Эйнштейном в 1911 г. зависимости временного интервала от потенциала был воспроизведен Шильдом [318], который доказывал, что любая теория, предсказывающая существование гравитационного смещения, должна быть теорией искривленного пространства-времени. На этом основании Шильд отверг теорию Уайтхеда, в которой предсказывалось красное смещение, но рассматривалось плоское пространство-время. По мнению Шильда, указанная теория содержала необоснованные допущения, касающиеся гравитационного красного смещения. Отмеченное обстоятельство было довольно важным, поскольку несостоятельность теории Уайтхеда в эмпирическом отношении была доказана лишь в 1971 г.
К теории Нордстрема отмеченный аргумент не относился, поскольку в ней была принята искривленная, или точнее конформно-плоская метрика. Как упоминалось выше, эта теория предусматривала зависимость массы от гравитационного потенциала. Разрабатывая свою вторую теорию, Нордстрем выразил инертную массу электрона через его гравитационную массу Mg, заряд е, радиус а и скорость света с в следующем виде:
т== -
Поскольку б и Mg - постоянные, для небольших изменений потенциала получается Ьпг ~(1/8а) [265, с. 543-546, 546--549]. С учетом этого из соотношения т/Ф' = const, где Ф' - внешнее гравитационное поле, Нордстрем получил
аФ' = const. (7.62)
Представленный здесь результат был использован против высказанного Эйнштейном аргумента, который, как отмечалось выше, касался чернотельного излучения. Нордстрем тогда
писал:
"Зависимость размеров тел от Ф' позволяет задать вопрос, не влияет ли гравитационный потенциал также на течение времени при физических процессах. Рассматривая простой случай, на этот вопрос можно ответить незамедлительно. С учетом постоянства скорости света совершенно очевидно, что время распространения светового сигнала от одного конца стержня к другому возрастает пропорционально удлинению стержня. Следовательно, это время обратно пропорционально гравитационному потенциалу" [265,с. 546].
"Из последнего примера следует, что длина волны спектральной линии зависит от гравитационного потенциала. Как показывает численный расчет, длины волн, излучаемых на поверхности Солнца, должны быть примерно на две миллионных больше, чем у земных источников света. Некоторые другие из новых теорий тяготения также предсказывают подобное (может быть, даже поддающееся наблюдениям) смещение" [265, с. 549].
Теория Нордстрема предсказывала такое же красное смещение, как теории Эйнштейна. Использованная в ней конформно-плоская метрика определялась выражением
dsa = O/8(d^ + d"/a + dz2 -c2rf^). (7.63)
Красное смещение линий солнечного спектра вызывало немало споров. Одни наблюдатели вообще его не обнаруживали, другие находили, но приводили вполне разумные доводы, объясняя его негравитационными причинами. Однако это смещение получалось одинаковым при использовании и метрики Шварцшильда, и промежуточной метрики, а также метрики теории Нордстрема. Что же касается отклонения света звезд, то оно не измерялось вплоть до 1919 г. Более того, не существовало никаких свидетельств, позволяющих оценить возможность такого отклонения. В классической статье Дайсона, Эддингтона и Давидсона [96, с. 291] перечислялись вероятные альтернативы: отсутствие отклонения (без упоминания теории Нордстрема), отклонение на 0,87", отвечающее теории Ньютона, и общерелятивистское значение 1,75". Таким образом, из наблюдательных свидетельств лишь эффект сме.
:щения перигелия мог подсказать Эйнштейну, что элементарный интервал, принятый в его теории 1911 г., не обеспечивает полного соответствия наблюдениям и что требуется учитывать также сокращение длины. Однако именно этот эффект остался невычисленным, хотя лишь его оценки могли доказать несостоятельность теорий, использующих промежуточную метрику. В этой главе уже высказывалась мысль, что гипотеза Зеелигера лишила смещение перигелия Меркурия статуса аномальности и потому при разработке теорий тяготения этот эффект не принимался во внимание. Правда, следует учитывать, что другие два эффекта также вначале не считались аномальными и что красное смещение, как и движение перигелия,
можно было объяснить либо в рамках новых теорий тяготения, либо обычными "ньютоновыми" явлениями на солнечной поверхности. Как показал Форбс, после измерений отклонения световых лучей в 1919 г. при интерпретации наблюдений предполагалось эйнштейновское красное смещение, а остающиеся невязки объяснялись как результат негравитационных явлений. Аналогично аномальное движение перигелия Меркурия в 1912 г. на две трети можно было бы объяснять в рамках новой теории тяготения, а на одну треть - влиянием околосолнечного вещества. Правда, интерпретация красного смещения как результата негравитационных явлений подвергалась сомнению, гак что оставалось место и для альтернативного объяснения этого эффекта, в то время как гипотеза Зеелигера не вызывала особых споров вплоть до публикации статьи Фрейндлиха в начале 1915 г. Однако следует учитывать, что в гипотезе Зеелигера из-за ее специального (ad hoc) характера можно было предполагать произвольную необходимую плотность возмущающего вещества и потому она позволяла объяснить любое смещение перигелия. Пожалуй, замечание Эйнштейна, сравнившего гипотезу Зеелигера с "открытой дверью", следует воспринимать всерьез. Вероятно, он предпочитал воздержаться от вычислений смещения перигелия, пока его теория не сможет полностью объяснить аномальный эффект. К тому же Эйнштейну было известно, что его теории вплоть до создания в конце 1915 г. общей теории относительности были далеко не совершенными. По этой причине он опубликовал лишь предвычисленные значения гравитационного красного смещения и отклонения световых лучей, поскольку не мог судить о степени их соответствия наблюдениям.При обсуждении полученных результатов Эйнштейн не использовал понятия метрики. Однако это не имеет значения, поскольку в данном случае необходимы лишь соотношения для преобразования результатов измерений времени и расстояния. К тому же в некоторых работах Эйнштейна все же
можно найти выражения метрики в явном виде. В 1912 г. Эйнштейн писал [100, с. 458; русский перевод, с. 215, 216]: "Для материальной точки, движущейся в статическом гра витационном поле без воздействия внешних сил, в соответ ствии с этим находим : .
или
б |\ Vе2
dt<i - d%2 - аУ2 ~А в своей лекции, прочитанной в Вене в 1913 г., он отметил [101, с. 1260; русский перевод, с. 294]:
"Для "естественного" четырехмерного элемента
ds в рассматриваемом приближении получаеми*;:.-
ds = V- dx2 - dy2 - dz2 + gu dt2,
где
Далее Эйнштейн неоднократно упоминал замедление времени и отклонение световых лучей. В большой статье [102], написанной в 1914 г. в Берлине, он привел явное выражение для метрики, названной нами промежуточной [русский перевод, с. 383]:
"Для естественно измеренного расстояния между соседними пространственно-временными точками в случае ньютоновского приближения имеем:
dX]X dxv = -dx2- dy2 - dz2 +
(1 + 2q>) dt2".H.V
Отсюда он получил значения красного смещения и отклонения света. Метрика из теории [109] Эйнштейна, приведенная Дросте [92, с. 1000], гораздо сложнее, чем промежуточная метрика.
Однако смещение перигелия представляет собой более сложный эффект, нежели гравитационное красное смещение и отклонение световых лучей. Для начала можно хотя бы указать, что он относится к реальным планетам, которые не являются материальными точками. Если новая теория полностью объясняет смещение перигелия, она должна приводить к таким же результатам в отношении возмущений, как ньютонова небесная механика. Этот аспект был затронут Максом Борном в дискуссии, последовавшей за лекцией, прочитанной Эйнштейном в 1913 г. в Вене [101]:
"Борн: Я должен задать вопрос г-ну Эйнштейну: а именно, как быстро распространяется гравитационное действие в ва-
шей теории? Для меня далеко не очевидно, что распространение происходит со скоростью света, связь должна быть очень сложной.
Эйнштейн: Уравнения для случая, когда возмущения, которым подвергается поле, бесконечно малы, записать нетрудно. Тогда значения
g отличаются от невозмущенных лишь на бесконечно малую величину; возмущения распространяются тогда с такой же скоростью, как свет.Борн: Но вопрос действительно осложняется при больших возмущениях?
Эйнштейн: Да, тогда проблема становится математически сложной. В общем случае трудно найти точные решения уравнений, поскольку они нелинейны".
Макс Лауэ * в качестве одной из причин, помешавших принять ему безоговорочно общую теорию относительности, отметил свое убеждение, что расчеты смещения перигелия неприменимы к протяженным телам. Как показал недавно Дафф [94], даже вопрос о том, является смещение перигелия в общей теории относительности эффектом первого или же второго порядка, нуждается в обсуждении. Соображения такого рода позволяли предположить, что простые вычисления смещения перигелия могут оказаться несостоятельными, будучи примененными к реальным небесным телам. Возможно, Эйнштейн предусмотрел такую возможность, когда опубликовал подобные расчеты для красного смещения и отклонения -световых лучей в гравитационном поле, но не для смещения перигелия. Теперь мы знаем, что в действительности трудностей не возникало и из метрики можно вывести выражения для всех трех рассмотренных эффектов. Однако при создании новой теории у Эйнштейна, разумеется, было гораздо меньше оснований для такой уверенности.
Принцип эквивалентности был краеугольным камнем всех теорий тяготения, которые разрабатывал Эйнштейн. Однако этого нельзя сказать о теориях, созданных другими учеными. Абрагам, например, принимая результаты опыта Этвеша (доказавшего равенство инертной и гравитационной масс), не сделал тем не менее очередного шага, ведущего к формули-
ровке этого принципа*. Зильберштейн [341] выдвинул теорию, в которой сохранил принцип общей ковариантности, но отказался от принципа эквивалентности на том основании, что этот принцип ставил тяготение "в совершенно исключительное и привилегированное положение". Зильберштейн считал также, что общая теория относительности не подтверждается эмпирически. Отклонение световых лучей в то время еще предстояло измерить. Смещение перигелия "самым существенным образом обусловлено"
g44, коэффициентом члена c2dt2 в метрике Шварцшильда, который, как мы видели, также ответствен за гравитационное красное смещение. В 1914 г. Фрейндлих доказал наличие красного смещения в спектрах некоторых двойных звезд и обосновал свидетельства в пользу теории Эйнштейна. Однако в 1917 г. Сент-Джон не нашел красного смещения в солнечном спектре. Зильберштейн отдал предпочтение результатам измерений Сент-Джона на том основании, что они были более многочисленными и что масса Солнца была известна точнее, чем массы звезд, наблюдавшихся Фрейндлихом. Предполагаемое отсутствие красного смещения определяло коэффициент gm, что в свою очередь приводило к предсказанию теорией меньшего смещения перигелия. Вследствие этого полученное совпадение со значением Ньюкома уже нельзя было считать подтверждением теории Эйнштейна. Более того, именно постоянная g44 обеспечивала применимость ньютоновой картины движения планет в качестве первого приближения. Зильберштейн повторил свои аргументы на заседании Британского астрономического общества в 1919 г., где обсуждалась общая теория относительности. Линдеман и Джеффрис высказали возражение против его точки зрения**. В своей теории Зильберштейн использовал потенциал видаф = ^- ctg (-?-) , (7.64)
аналогичный примененному Нейманом в 1886 г. (см. уравнение 7.15). Он принял
gij постоянными в вакууме, причем g22 и ga считались функциями кривизны R пространства. Из тео-* По работе [143, с. 185]. Эта статья с обзором теории Нордстрема не включена в собрание избранных трудов Лауэ. В соответствующем абзаце говорится: "Это согласие двух значений смещения перигелия, следующего из теории Эйнштейна и аномалии Ныокома, достигнуто при условиях, которые не допускают произвольного изменения, поэтому нельзя быть уверенным, что принятые допущения (в особенности предположение о двух материальных точках) выполняются с достаточной точностью
. Следовательно, хотя указанное согласие примечательно, его нельзя считать достаточным основанием для полного пересмотра физической картины мира, который предпринял Эйнштейн в своей теории".* Согласно работе [245, с. 6], где содержится ссылка на статью Аб-рагама [2]. В этой
4 статье теорию Эйнштейна, которая в то время находилась на стадии предварительной разработки, Абрагам назвал "фата-морганой".** См. Mon. Not. r. astr. Soc, 80, 111-117, 1919. Здесь О. Лодж затронул аргументацию Ленца, обсуждая коэффициенты метрики Шварцшильда: "Второй член, который для ясности можно записать в виде 2М/г/с
2, представляет собой гравитационный потенциал в произвольной точке, деленный на квадрат скорости света. Числитель есть квадрат скорости свободного падения. Поскольку луч света по существу падает из бесконечности, выражение сразу приобретает конечный смысл".рии Зильберштейна вытекало обратное смещение перигелия со скоростью
1" в столетие. Джеффрис вначале полагал, что этот эффект все же можно согласовать с наблюдениями, привлекая гипотезу Зеелигера. Однако в 1919 г. он отказался от этой точки зрения (см. гл. 4).7.8. Принцип ковариантности и смещение перигелия
Принцип ковариантности, сформулированный Эйнштейном в 1916 г. в статье [106], посвященной основам общей теории относительности, гласит [русский перевод, с. 452]:
"Общие законы природы должны быть выражены через уравнения, справедливые во всех координатных системах, т.е. эти уравнения должны быть ковариантными относительно любых подстановок (общековариантными)."
Этот принцип тесно связан с подходом (хотя и не равнозначен ему), при котором физические законы выражаются в тензорной форме, и Эйнштейн считал его фундаментальным для своих теорий. Тем не менее в период разработки совместно с Гроссманом теории [109] Эйнштейн отказался от принципа ковариантности и, лишь вновь вернувшись к этому принципу, он подошел к окончательному варианту общей теории относительности. В противоположность этому принцип эквивалентности неизменно присутствовал во всех теориях Эйнштейна.
Нам достаточно отметить, что принцип ковариантности в эмпирическом отношении не имеет особого значения, поскольку любой закон можно представить в ковариантнои форме. Это отмечалось Кречманом [198] и было известно Риччи и Леви-Чивите еще в 1901 г. [386, с. 159]. Значение этого принципа, согласно самому Эйнштейну, состояло в возможности его эвристического применения, или точнее эвристического применения в сочетании с требованием простоты. Обще-ковариантные формулировки ньютоновой теории тяготения были представлены Картаном [50] и Фридрихсом [124]. Позже этот вопрос затрагивался в работах [366, 159].
Как указывалось выше, в работах, посвященных созданию теорий тяготения, смещению перигелия Меркурия уделялось недостаточно внимания. Мы отмечали, что этот эффект мог сыграть важную роль в проверке ранних теорий Нордстрема и Эйнштейна и что гипотеза Зеелигера обеспечивала своеобразную маскировку аномального характера этого эффекта. Упоминались также затруднения, связанные с невозможностью выполнить простой расчет смещения перигелия, подобный тому, который Эйнштейн приводил для красного смещения и отклонения световых лучей. Однако было бы слишком смелым высказывать какие-либо догадки о причинах, побудивших Эйнштейна не публиковать расчетов смещения пери-
гелия вплоть до создания его окончательной теории тяготения. В его статьях эти причины не прослеживаются, а данное исследование, предлагаемое вниманию читателя, основано только на опубликованных источниках, а не архивных материалах. Автор ограничился в нем лишь указанием затруднений и альтернативных предположений.
7.9. Теория Бранса - Дикке и смещение перигелия Меркурия
Рассказ об общей теории относительности и смещении перигелия Меркурия здесь не заканчивается, поскольку сравнительно недавно этот эффект и его объяснение вновь стали предметом дискуссии. Она возникла в начале 60-х годов в результате полного изменения ситуации, связанной с теориями тяготения. До того из-за технических ограничений существовало лишь три классических эксперимента, способных подтвердить общую теорию относительности. К тому же такое подтверждение не выглядело полностью убедительным, поскольку, например, теория Уайтхеда [381] предсказывала получение аналогичных результатов. Однако в начале 60-х годов повышение чувствительности экспериментальных методов обеспечило возможность наблюдения более тонких эффектов и этот прогресс привел к появлению новых теорий тяготения. Перемены очевидны, если сравнить, например, труды международной физической школы им. Энрико Ферми, опубликованные в 1962 и 1974 гг. [317, 309].
Теория Уайтхеда была опровергнута только в 1971 г., когда Уилл [392] показал, что она предсказывает существование изотропных инертных масс наряду с анизотропными гравитационными массами. При этом эффекты, обусловленные указанным различием, должны концентрироваться в направлении центра Галактики, поскольку там плотность вещества повышена. В частности, в этом случае должен возникать приливный эффект, проявляющийся в изменении значения гравитационной постоянной G с периодом 12 ч, причем по величине это изменение должно в 200 раз превышать наблюдаемое значение-. Бранс и Дикке [37] выдвинули скалярно-тензорную теорию гравитации, пытаясь ввести принцип Маха в общерелятивистскую теорию тяготения. Этот принцип, согласно которому силы инерции обусловлены гравитационным воздействием удаленных тел во Вселенной, лишь частично учитывается в общей теории относительности. Бранс и Дикке попытались "исправить" положение, добавляя скалярное поле к обычному тензорному полю, представляющему взаимодействие. Таким образом, теория Бранса - Дикке является скалярно-тензорной и содержит константу связи со, которая представляет собой меру взаимосвязи двух полей ("в любой имеющей смысл теории со должна по порядку/значение, вытекающее из общей теории относительности
J-(i.bo)Чтобы предсказываемое значение согласовалось с наблюдаемым с точностью не менее 8 %, Дикке принял со $г 6. При (0 = 6 предсказанное смещение перигелия составляет 39,4", что на 3,2" меньше наблюдаемоего значения 42,6" + 0,9". Получающуюся разницу Дикке приписал влиянию сплюснутости Солнца и организовал серию экспериментов по измерению этого эффекта. Эксперименты убедили Дикке, что сплюснутость вполне достаточна, чтобы константу связи можно было принять равной 6. Однако эта гипотеза встретилась с трудностями, поскольку принятая в ней сплюснутость оказалась слишком велика, чтобы ее можно было объяснить наблюдаемой скоростью вращения Солнца. Потребовалось предположить, что ядро Солнца вращается с гораздо более высокой скоростью, но такое предположение, по-видимому, противоречит условию устойчивости. Правда, высокая сплюснутость Солнца нашла свое подтверждение в солнечных моделях, объясняющих пониженное значение наблюдаемого потока нейтрино [77]. Однако Хилл и Стеббинс [170] показали, что при более тщательном определении края солнечного диска результаты измерений Дикке - Голденберга можно объяснить повышенной яркостью экваториальной области. Они получили сжатие, равное (18,4 + 12,5) 10~
3", в отличие от значения Дикке- Голденберга (86,6 + 6,6) Ю-3".Между тем другие проверки подтверждали общую теорию относительности. Шапиро и др. [334] измеряли полное запаздывание радиолокационных сигналов, отраженных от Меркурия и Венеры, и получили значение постоянной
X, равное 1,01 + 0,02, тогда как из теории Бранса - Дикке следует значение 0,93, а из общей теории относительности 1,00.Андерсон и др. [15] также подтвердили релятивистские значения, используя результаты эксперимента на космических аппаратах "Маринер-6 и -7". Измерения отклонения радиоволн в гравитационном поле Солнца принесли новое свидетельство в пользу общей теории относительности [70]. Аналогичный эксперимент с использованием микроволн [15] привел к значению отклонения, для объяснения которого в теории Бранса-Дикке потребовалось бы положить со > 23. Этот результат соответствует смещению перигелия, близкому к общерелятивистскому значению, и почти исключает предположение о сплюснутости Солнца. Указанный результат был подтвержден (причем условие, выраженное вышеприведенным неравенством, стало еще более жестким) экспериментом по лазерной локации Луны, выполненным Уильямсом и др. [389]. Цель этого эксперимента состояла в проверке следствия ска-лярно-тензорной теории, известного, как эффект Нордведта, которое состоит в том, что собственная гравитационная энергия тела вносит в гравитационную массу больший вклад, чем в инертную [267]. В лаборатории этот эффект не наблюдается (как показали, например, эксперименты Дикке по проверке принципа эквивалентности, аналогичные опыту Этвеша), поэтому его необходимо исследовать на крупных телах. Обусловленная им поправка к массе для Земли больше, чем для Луны, поэтому должно существовать избыточное ускорение Земли по направлению к Солнцу, проявляющееся в изменениях расстояния Земля - Луна. Этот эффект исследовался при лазерной локации с применением уголковых отражателей, оставленных на Луне американскими астронавтами. Результаты с уровнем значимости 70 % соответствуют условию со > 29. Таким образом, теория Бранса - Дикке почти не отличается от общей теории относительности, в особенности в отношении предсказанного смещения перигелия Меркурия.