Законы перехода энергии с одного элемента среды'" на другой определялись до сих пор только для частных форм движений. Задача настоящего труда заключается в установлении на общих началах учения о движении энергии в средах.

Раскрытие общей связи между распределением и движением энергии в средах и перемещениями их частиц, независимо от частных форм движений, должно дать возможность из известных законов движения и распределения энергии в теле выводить заключения о роде движений его частиц. Задачи подобного рода

имеют важность ввиду стремления современной физики сводить все явления природы на явления движения. Простейшие опытные данные, на которые могли бы опереться теоретические изыскания современной физики, идущие в указанном направлении, представляют распределения и движения энергии в различных явлениях природы. Орудия опытного исследования не настолько, однако, усовершенствованы, чтобы давать возможность определять законы каждой из составных частей энергии в.отдельности. Поэтому важно отыскать метод, который давал бы возможность перейти от определённых путём опыта законов движения энергии к дифференциальным уравнениям движения частиц тела, которое, по предположению, даёт место наблюдаемому явлению.

§ 2. Уравнение сохранения энергии в элементе тела. Представим себе однородную среду с определёнными границами, конечными или бесконечно большими. Пусть па частицы этой среды не действуют внешние силы и прилив энергии к частицам обусловливается принятием или отдачей энергии средой через её границы.

Если мы выделим мысленно элемент объёма, изменение его энергии (т. е. суммы его живой силы и потенциальной энергии) по закону сохранения энергии может совершиться только на счёт прибыли или убыли последней в смежных элементах. Математическое выражение связи приращения количества энергии в элементе объёма с её потерями в смежных элементах и будет математическим выражением элементарного закона сохранения энергии в средах.

Математическое выражение, указанной связи может быть нами почерпнуто из явления иного рода, опирающегося на закон, аналогичный закону сохранения энергии. Распределение вещества при движениях непрерывной сжимаемой среды подчиняется закону сохранения вещества. Насколько движение энергии и движение сжимаемого вещества обусловливаются за-

коном их сохранения, настолько мы имеем право уподоблять движение энергии движению подвижного и сжимаемого вещества.

Количество энергии в элементе объёма среды, отнесённое к единицо объёма, может быть названо плотностью энергии в данной точке среды.

Мы можем следить за изменениями, происходящими в количестве энергии и её скоростях в одной и той же точке пространства или же в одном и том же движущемся количестве (массе) энергии.

о 9Э _а

“здесь st- есть частная производная от У по времени.

Выражение (I), аналогичное с выражением закона сохранения вещества в гидродинамике, есть выражение элементарного закона сохранения энергии в телах.

Аналогия между дифференциальными законами движения энергии и движения вещества, вообще, не простирается далее сходства уравнении (I) и (Г) с соответственными уравнениями гидродинамики.

Выражение (I) открывает связь между количеством энергии, отнесённым к единице времени, втекающим в среду через сё границы, и изменением количества энергии в среде. Мы находим:

§ 3. Связь законов движения энергии с законами частичных движений сред. Дифференциальные законы движений частиц различных сред дают, как известно, возможность установить математическое выражение, представляющее закон сохранения энергии для всей

или, преобразовывая второй тройной интеграл,

Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляющее закон сохранения энергии для всей среды, должен быть тождествен с тройным интегралом, входящим в выражение (5). Но двойной интеграл, входящий в выражение (7), преобразуется во второй тройной интеграл выражения (6); следовательно, и двойной интеграл, входящий в выражение (5), должен преобразоваться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом, входящим в выраже-

ние (6). Математическое выражение этого тождества и приведёт к выражениям, связывающим законы движения и распределения энергии с частичными движениями сред.

Первые два тройных интеграла представляют приращение энергии, отнесённое к единице времени, во всей упругой среде. Двойной интеграл распространяется на всю поверхность среды и представляет работу внешних

давлений. Мы опускаем действие внешних сил на элементы упругой среды. Обращая внимание на значение величин 8м, Ви и Stv по формуле (8), мы замечаем, что двойной интеграл выражения (9) преобразуется в следующий тройной интеграл:

жение (У), тождественную с -г-- , в отрицательную под-

Вставляя сюда величину и, находим:

С другой стороны, подставляя (13) и (14) в (11), находим:

Последние два соотношения дают /₃=0, 1~ — 0. Следовательно, 1_Х — Q, и первое- из соотношений (18) но сокращении общих факторов даёт соотношение:

откуда получается известный результат:

В случае распространения плоской волны с колебаниями поперечными мы нашли бы точно так же известное выражение для скорости распространения поперечных колебаний. Выражения (11) дают возможность найти общие соотношения между формой волн, несущих продольные или поперечные колебания, и движениями частиц упругого тела. Известно, что скорость распространения тех или других волн постоянна и что волны, исходящие из одной ' и той же поверхности сотрясения, имеют общиз нормали. Означая через с скорость распространения волны, мы имеем, следовательно,

с — с — с —

есть уравнение какой-нибудь волновой поверхности, а а_гВ — её дифференциальный параметр первого порядка.

Мною было показано (“Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости”), что, выбирая за параметр В волны отрезок луча между некоторым начальным положением волны и последующим, мы имеем:

Принимая последнее выражение и подставляя (21) в (И), находим:

'dz Эти выражения показывают, что

суть выражения косинусов углов нормали в какой-нибудь точке волны с осями координат. Так как .по закону общих нормалей все элементы нормалей, проведённые в соответствующих точках одной и той же волны в различных её положениях, лежат на одной прямой, носящей название луча, то выражения (25) остаются неизменными на протяжении одного и того же луча.

Выражения (25) показывают также, что, воображая себе в какой-нибудь точке луча линию, равную по величине произведению из энергии на скорость её распространения, величины

Возвышая выражения (24) в квадрат п складывая, находим:

Умножая выражения (24) соответственно на l_x, l_v, /_г, складывая и обращая: внимание на соотношения (21), находим следующее выражение:

Величина -9с² может быть названа двойной живой силой движения энергии.

Здесь А₂ означает дифференциальный параметр второго порядка.

Введём ортогональные координаты, причём параметры двух систем поверхностей, ортогональных между собой и к волновой поверхности В, означим через р_х, р₂. Принимая во внимание условия ортогональности, мы представим выражение (30) в следующем виде:

показано будет ниже [формула (46)]. Рассмотрим случай волны цилиндрической. Пусть ось цилиндра параллельна оси z и координаты точки её пересечения с плоскостью ху суть о, 0, 0. Мы имеем в данном случае:

и выражение (33) даёт нам:

где tp есть параметр плоскостей, проходящих через ось цилиндра.

Для волны сферической, центр которой имеет координаты а, Ь, с, мы имеем:

где с и с_г суть постоянные.

Подставляя в уравнение (Г) величины (21) и принимая в соображение (23), находим:

откуда

Кроме того, означая через h, 1г_ъ Л₂ дифференциальные параметры первого порядка волновой поверхности и ортогональных к ной поверхностей [>_г, р₂, мы имеем (Lame, Lecons sur les coordonnees curvilignes, 1859):

Замечая, что в нашем случае h = i, имеем:

Так как во всё время движения энергии вдоль одного и того же луча величины ^ и [>₂ остаются неизменными, то из выражения (48) заключаем, что энергия целиком переносится волной от одной точки луча к другой.

§ 7. Я закончу настоящий отдел несколькими общими соображениями относительно законов движения энергии, не ограничиваясь случаем, когда она распространяется во всех направлениях с постоянной скоростью. Вообразим себе внутри упругого тела бесконечно малый плоский элемент, нормаль коего обозначим через п. Пусть сила упругости, действующая на элемент, будет Р. Мы имеем по известным формулам теории упругости соотношения:

Умножая эти выражения ла и', v,' w' и складывая, находим:

Здесь i есть скорость центра рассматриваемого нами бесконечно малого плоского элемента, е— скорость движения энергии в этом центре. Означая через i_p слагающую скорости элемента по направлению силы упругости и через /„ — слагающую скорости энергии по нормали к элементу, выражение (50) может быть написано в следующем виде:

В каждой точке M упругого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярных плоских элемента, испытывающих одни только нормальные силы упругости. Воображая себе в точке M оси прямоугольных координат проведёнными таким образом, что плоскости координат параллельны указанным трём плоским элементам, мы имеем по формуле (51):

Выражения (11), (51) и (52) показывают, что сумма из количества энергии, протекающей через произвольный плоский элемент, и, работы сил упругости на элемент равна нулю. Уравнение (51), будучи справедливым для каждого плоского элемента внутри среды, имеет место на границах среды. Оно даёт, следовательно, возможность по давлению, испытываемому границами среды, определить количество входящей в нес энергии, зная при этом скорость движения частиц на границах. Точно так же, зная количество энергии д, входящей в среду в единицу времени, и зная скорость частиц на границах, мы можем определить давление или натяжение, соответствующее этому переходу. Заметим, что q имеет знак положительный, когда энергия выходит из тела, и отрицательный, когда энергия входит в тело. Следовательно, из (511 мы находим:

Если дано q n P, то найдём отсюда i_p; соотношение (53) показывает именно, что скорость движения частиц тела на границе по направлению силы P равна частному из количества энергии, прошедшей через весьма малый плоский элемент, центр коего совпадает с частицей,

Возьмём числовой пример. Пусть давление Р, испытываемое элементом границы тела, нормально к его поверхности и в данный момент времени равно давлению атмосферы. Давление Р, отнесённое на квадратный метр поверхности, есть 10 334 кг. Пусть количество энергии, протекающее в данный момент времени через бесконечно малый элемент поверхности, отнесённое к 1 сек. и к квадратному метру, есть 1 килограммометр в 1 сек. Тогда для данного момента скорость i_p движения частиц взятого элемента поверхности будет по формуле (53):

б>'^дет -ШГд ^м"' ^пов0Р^хность s = 6 (₁щ_Т)4 i количество энергии, прошедшее в 1 сек. через 1 м поверхности, есть -^—;,' - кгм. По формуле (53) вычисляется средняя

скорость i_p частиц его поверхности при давлении одной атмосферы, т. е. 10344 кг/м²:

Формула (53) приводит пас еще к следующему заключению: скорости i_p граничных частиц всех упругих

жидких. Рассмотрим сначала жидкости, не обращая внимания на так называемое внутреннее трение частиц жидкости. Означая через и, v, w скорости движения частиц жидкости в одной и toi'l же точке пространства, через p -давление и \> — плотность, мы имеем следующие уравнения гидродинамики:

Умножая выражения (54) соответственно на н dt, v dt, w dt, складывая, деля на dt и пнтогрируя для всею объёма среды, находим:

где da есть элемент границ и б — кубическое расширение. Это выражение может быть написано ещё в таком виде:

иными словами, направление движения энергии одинаково с направлением движения жидкости. Отсюда вытекает заключение, что внутри жидких тел невозможны такие формы движений, при которых направление движения частиц не совпадает с направлением движения энергии. Так, например, в жидких телах невозможно распространение воли с колебаниями поперечными. Выражение (63) существует и на поверхности жидкости; подобно выражению (53) оно даёт возможность вычислять скорости частиц у поверхности жидкости по давлению на этой поверхности и количеству энергии, входящей в тело.

§ 9. Случай несжимаемой жидкости. Для жидкости несжимаемой величина энергии равна живой силе движения частиц жидкости. Следовательно,

Последнее выражение показывает нам, во-первых, что для всех форм движения, возможных внутри нссжимае-

Скорость i равна скорости с только при p = 0. Выражение (69) даёт возможность определить минимум скорости движения энергии под данным давлением в несжимаемой жидкости. Этот минимум будет:

Означая через n число атмосфер, иод давлением которых находится частица жидкости, через д— плотность жидкости относительно воды при 4° С, принимая, далее, за единицу длины метр п за единицу времени секунду, мы находим:

где P есть вес кубического метра воды при 4°С, т. е. 1000 кг, и g — ускорение тяжести, равное приблизительно 10 м. Вставляя величины (72) в (71), находим:

Следовательно, для воды наименьшая возможная скорость движения энергии в частях жидкости, находящихся под давлением одной атмосферы, есть 28,752 м. Формула (73) показывает, что для жидкостей различной плотности минимум скорости энергии понижается с jbc-личением плотности; для одной п тон же жидкости минимум скорости движения энергии повышается с увеличением давления.

подставляя эту величину в уравнения гидродинамики (54), мы приведём их к следующему виду:

§ 10. Уравнения движения энергии в жидкостях с трением. Более общие дифференциальные законы движения жидкостей получаются, как известно, принимая существование давлений, направленных косвенно к плоскому элементу внутри жидкости, стороны коего параллельны плоскостям координат; мы означим слагающие косвенных давлений, испытываемых тремя сторонами элемента, ближайшими к началу координат, через р_хх, p_vll, p,,, pxij, Риг, р,_х', значение употреблённых здесь индексов известно. Мы имеем следующие дифференциальные уравнения с частными производными, предполагая, что внешние силы не действуют на элементы жидкости:

Здесь функция b зависит только от ускорении частиц, скоростей, перемещений и их производных по координатам. При помощи этих уравнений мы найдём связь между законами движения и распределения энергии в среде и законами частичных движений—связь, которая представится соотношениями следующего вида:

где функции Ф зависят от скоростей, перемещений и их производных по координатам. Если нам известны путём опыта величины Э, 1_Х, 1_а, 1„ для каждой точки среды, то весь вопрос приводится к чисто математической задаче: требуется обинтегрировать уравнения (84), причём найденные интегралы должны удовлетворять условиям (85), в которых левые части даны на--перёд. Таким образом, в этой форме успех решения задачи обусловливается силами одного математического анализа.

Приведение задачи к указанной простой форме представляет, однако, немаловажные затруднения, которые могут быть устранены отчасти путём опыта и анализа его результатов. Возможность приведения задачи к указанной простой форме предполагает знание среды, в которой происходит явление, и знание законов распределения и движения энергии в данном явлении.

Определение среды, служащей местом явлению, представляет большие трудности. Все тела природы предполагаются проникнутыми световым эфиром, и u большинстве случаев нельзя сказать утвердительно — весомые частицы тела служат местом явлению, или окружающий их эфир, или, наконец, то и другое вместе. Орудия опытного исследования дают возможность определять характер явления только за известные, весьма малые, но не бесконечно малые промежутки времени. Поэтому закон энергии, находимый нами путём опыта, представляет некоторый интегральный закон. Означая через т наименьший промежуток времени, за который орудия опытного исследования могут дать отчёт о происходящем явлении, означая через д величину энергии, существующую в каждой точке среды в каждый момент времени, мы находим из опытных данных величину энергии Э':

9'=±}9dt. (86)

<

Это соотношение имеет место в явлениях интерференции. Так как в этом случае величина Э известна с достоверностью, то первый успех объяснения явления путём частичных движений предстоит явлениям, для которых возможна интерференция производящих их движений. В этом заключается одна из причин успешной разработки теории световых явлений;

б) если закон энергии, найденный из опыта, носит характер настолько общий, что может быть принят справедливым для моментов времени, бесконечно близких друг к другу; примером такого закона может служить закон обмена тепла между двумя бесконечно близкими частицами тел, служащий основанием теории теплопроводности. Здесь величина Э' не может быть, однако, приравнена величине Э.

В последнем случае, так же как и в остальных, мы должны решить соотношения (86) по отношению к Э. Эта задача облегчается тем условием, что мы наблюдаем явления, энергия коих вместе со временем приближается в каждой точке среды к некоторому пределу. В данном случае мы можем представить величину Э следующим рядом:

§ 12. Определение законов движения и распределения энергии в явлениях взаимодействия на расстояниях конечных. Я постараюсь теперь решить часть вопросов, связанных с объяснением явлений второй группы, т. е. взаимодействий на расстояниях конечных, из частичных движений. Эти движения должны происходить, в общем случае, как во взаимодействующих телах, так и в среде, в которую последние погружены. Эту среду я буду называть промежуточной средой. Определению формы частичных движений должно предшествовать, по указанному выше методу, определение законов энергии в промежуточной среде, определение закона обмена энергии между телами и промежуточной средой и, наконец, определение законов энергии в самих телах. Я буду разделять энергию тел на две части: на энергию бесконечно малых частичных движений этих тел, или внутреннюю энергию тел, и на энергию, представляемую живой силой их явных движений, приписываемых обыкновенно взаимодействию ^ на расстояниях конечных. ' Энергия промежуточной среды состоит, вообще, из двух частей, значение которых определяется следующими соображениями.

промежуточной среды в явлениях взаимодействия на расстояниях конечных, мы отвергали бы, в сущности, ату гипотезу, если бы допустили, что приращение живой силы явных движений тел совершается непосредственно на счёт убыли внутренней энергии тел, “без участия среды. Допуская же это участие, мы на-„ходим для него одно только возможное толкование: после устранения внешних сил первый акт явления заключается в приращении живой силы явных движений тел на счёт убыли энергии частичных движений промежуточной среды, и второй акт явления, непосредственно следующим за первым, —пополнение убыли энергии промежуточной среды из внутренней энергии тел. Означим через j] IQ количество энергии, сообщаемое всем взаимодействующим телам в бесконечно малый элемент времени. Через 2 ''W обозначим сумму изменений внутренних энергий тел за тот же промежуток времени. Через <,Н означим изменение энергии -.промежуточной среды. Если взаимодействующие тела удерживаются в покое внешними силами или удалены друг от друга на громадные расстояния, то мы имеем соотношение:

Означим через 2 <-i^z приращение живой силы явных движений взаимодействующих тел. Рассматривая такие тела, для взаимодействия коих существует потенциал, который я обозначу через II, мы имеем в первый момент взаимодействия:

Пополнение убыли энергии в промежуточной среде из внутренней энергии тел, связанное, как показывает опыт, с временным нарушением стационарности явления в телах, может иметь основание в том, что стационарность этих явлений обусловливается существованием определённого количества энергии в среде. Мы не имеем, однако, никаких данных для того, чтобы утверждать, тождественна ли форма движений, приобретаемых средой при пополнении убылей её энергии вследствие постепенного изменения живой силы явных движений взаимодействующих тел, с той формой движения, которая вызывается в среде при сообщении ей энергии телами до того момента, когда происходящие в лих явления достигнут состояния стационарного и когда они удалены друг от друга на бесконечно большие расстояния,

у Я займусь подробным рассмотрением только некоторых вопросов из указанных мною выше и именно тех, о которых можно рассуждать с наибольшей достоверностью. С наибольшей ясностью выступает для нас значение величин П и 2 ^z'^{2 и их} взаимные превращения. Если мы вычисляем для каждого относительного положения тел величину П, оставляя без внимания временную нестационарность явления, могущую происходить в телах во время их перемещения, то. соотношение (92) остаётся справедливым при перемещении тел из всякого относительного их положения, если вначале тела удерживались в нём в покое. Отсюда мы заключаем, что энергия среды, способная в каждый отдельный момент времени превращаться в живую силу явных движений тел, а также энергия среды, в которую способна превращаться в каждый момент времени живая сила движений тел, представляется величиною

li + const. (94)

(см. также мою статью: “Ein Theorem ьber die Wechselwirkungen” и пр., § 12, Zeitschrift f. Mathematik und Physik, XIX, 2, 1874). Наша задача будет заключаться в отыскании закона распределения энергии внутри промежуточной среды, при котором сумма энергий всех элементов пространства, занятого средою, представляется величиною (94). Затем мы должны будем определять закон движения энергии в среде.

Законы, которые могут быть нами при этом найдены, по причинам, изложенным в § 11, будут некоторые интегральные законы; тем не менее, основной закон энергии (I) остаётся справедливым, потому что при его выводе не было сделано никаких условий для того промежутка времени, за который определяются величины энергии ц её скорости. Означая, следовательно, через Э среднюю величитту энергии за некоторый весьма малый промежуток времени, через l_x, l , |_?—средние скорости энергии за тот же самый весьма

§ 13. Превращение величины Il+const. в тройной интеграл, распространённый на всю промежуточную среду. Величина П в том виде, как она входит в уравнение живых сил в явлениях взаимодействия на расстояниях конечных, зависит от относительного положения взаимодействующих тел и от их формы. По отношению к промежуточной среде эти тела определяют положение и форму границ промежуточной среды. Если я означу через Э количество энергии в элементе промежуточной среды, то эта последняя должна быть найдена из условия:

Случай первый. Взаимодействие весомых, электрических и магнитных масс. Для взаимодействия этих масс потенциал V во всём внешнем пространстве, не заключающем действующих масс, т. е. для всех точек промежуточной среды, удовлетворяет уравнению Лапласа. Мы решим вопрос для взаимодействия двух масс m_lt m.₂, которые воображаем себе сосредоточенными в двух точках а, Ь, находящихся на расстоянии R друг от друга. Означая через V\_ъ потенциал обеих масс друг на друга, мы имеем:

П=7_а4. • (98)

Положительный знак должен оыть взят в случае отталкивания, а отрицательный — в случае притяжения. Означим через V_lt V% потенциалы масс т, и т₂ в какой-нибудь точке промежуточной среды. Мы имеем по теореме Грина:

где знак Д₂ представляет дифференциальный параметр второго порядка, тройной интеграл распространяется на всю промежуточную среду, т. е. на пространство, ограниченное с одной стороны поверхностью бесконечно большой сферы, с другой — двумя бесконечно малыми сферами, окружающими точки а и Ь. Двойные интегралы распространяются на поверхности этих сфер, и dn_lt drin представляют элементы нормалей к этим сферам, направленные внутрь промежуточной среды. Первый двойной интеграл, входящий во вторую часть предыдущего выражения, будет

Ближайшей нашей задачей будет определение постоянной, которая должна быть прибавлена к величине 11, чтобы иметь всю энергию среды. Эта постоянная представляет количество энергии, которая была бы заключена в среде, когда в последней было бы погружено только одно из взаимодействующих тел. Величину этой энергии легко найти из выражения (106), замечая, что она должна быть вдвое меньше той энергии, которая вычислится по формуле (106) для того случая, когда массы m_l и т₂, равные друг другу и тождественные, совпадут. В этом случае мы должны положить F₁ = F₂, и из (106) находим, означая через 11„ и П₅ части энергии среды, обусловливаемые в ней каждой массой т^

и пг₂ в отдельности:

Величины П_а и }\_ь представляют количества энергии, которыми обладала бы среда, если бы в ней находилась или только масса т_ъ или только масса т₂.

Полная энергия среды есть, следовательно, по (97):

Подставляя сюда найденные выше величины II, \\_а, П_ь, находим:

Означая через p параметр поверхностей равного потенциала в среде, имеем: V₂ + Vi = [j', следовательно,

Этому выражению мы можем дать ещё иной вид. Означим через h дифференциальный параметр первого порядка от параметра р, т. е.

Величина h представляет силу, с которой действовали бы массы nii и те, на массу, равную единице и помещённую в какой-нибудь точке промежуточной среды. Замечая, что по условию во всех точках промежуточной среды функции V i, V% удовлетворяют уравнению Лапласа, мы можем дать выражению (111) следующую форму:

т. е. количество энергии в каждой точке промежуточной среды пропорционально квадрату силы, с которой массы т₁ и т₂ действовали бы на массу, равную единице, помещённую в этой точке промежуточной среды.

В том случае, когда массы притягиваются, мы должны брать потенциалы V₁ и 7₂ с противными знаками; в случае же, когда они отталкиваются, — со знаками одинаковыми. Это знакоположение вытекает из соотношения (99). Отсюда следует, что энергия среды в случае притягивающихся масс будет наибольшей, когда эти массы находятся в бесконечном удалении друг от друга. По мере сближения масс энергия среды превращается постепенно в живую силу их явного движения. В случае масс, отталкивающих друг друга, их бесконечному удалению соответствует наименьшая величина энергии среды.

§ 14. Закон энергии в случае взаимодействия двух замкнутых токов друг на друга. Этот случай приводится к предыдущему, заменяя взаимодействующие замкнутые токи магнитными поверхностями и разумея под величиной V потенциал магнитных масс, лежащих па одной из этих поверхностей, на северный полюс с количеством магнетизма, равным единице, лежащий в какой-нибудь точке среды. Вопрос этот может быть решён ещё иначе. Потенциал двух замкнутых токов друг на друга в том случае, когда напряжения токов измеряются электромагнитными единицами, есть

Здесь ds_l и ds₂ представляют элементы токов а и Ь, а г — расстояние между ними. Этот двойной интеграл может быть преобразован в тройной, распространённый на всю промежуточную среду, при помощи следующих соображений, аналогичных употреблённым выше. Каждый из замкнутых токов заменяем двумя бесконечно близкими поверхностями, обложенными противоположными магнитными жидкостями. Означим через fj и F₂ потенциалы замкнутых токов на магнитный полюс с северным магнетизмом, количество коего равно единице и который лежит в какой-нибудь точке промежуточной среды. Во всей части среды, ограниченной с одной стороны поверхностью бесконечно большой сферы, с другой — магнитными поверхностями, заменяющими токи, потенциалы F, и F₂ удовлетворяют уравнению Лапласа. Для указанной части среды имеет место соотношение (100). Двойные интегралы, в него входящие, распространяются на элементы магнитных поверхностей. Эти двойные интегралы равны 4-П (см. статью Кирхгофа “Ьber die Krдfte, welche zwei unendlich dьnne, starre Ringe in einer Flьssigkeit scheinbar auf einander ausьben kцnnen”, Grelle, 1870). Отыскивая методом предыдущего параграфа постоянное, которое должно быть прибавлено к величине П, чтобы получить выражение полной энергии среды, мы найдём, как легко видеть, снова:

где ;, есть параметр поверхностей равного потенциала в точках промежуточной среды с указанными выше границами, причём под потенциалом разумеется потенциал обоих токов на северный магнитный полюс с количеством магнетизма, равным единице. Величина k есть дифференциальный параметр первого порядка от пара-

метра \j. Относительно величины Э мы вправе сделать те же заключения, как и в предыдущем параграфе.

где [> есть параметр поверхностей равного потенциала, проведённых мысленно в промежуточной среде. Здесь потенциалом может быть функция, совершенно отличная от потенциала самих взаимодействующих тел друг на друга. Например, в случае замкнутых токов величина p представляет потенциал этих токов на магнитные полюсы, которыми мы должны мысленно наполнить среду.

где h, h_lt h₂ суть дифференциальные параметры первого порядка от параметров p, pj, р₂. Вследствие соотношения (119) имеем:

Сечение поверхностей pj и р₂ представляет кривую линию, носящую название силовой линии. Вообразим себе па одной из поверхностей p бесконечно малый прямоугольник, две стороны коего составлены из элементов ds₁ и ds₂ нормалей к поверхностям р_г, р₂. Здесь

Проведём через периферию этого четырёхугольника все возможные силовые линии. Они выделят из среды бесконечно тонкий объём криволинейного вида, который я назову (по аналогии с одним термином, введённым Гельмгольцем) силовою нитью. Изменяя один параметр р, оставляя постоянными р_ъ р₂, мы двигаемся вдоль силовой нити, площадь сечения коей в каждой точке равна dsi, ds_z. Прилагая к выражению (123) соотношение (121), мы видим, что количество энергии, заключённое в каждом элементе объёма, остаётся неизменным вдоль силовой нити. Но выражение (123) может быть представлено в виде:

Время может входить в величину /г² только через величины, определяющие положения взаимодействующих тел. Если взаимодействующие тела удерживаются в покое, мы имеем:

а следовательно, количество энергии во всей среде остаётся неизменным.

Вообразим себе в промежуточной среде одну только массу /hi, сосредоточенную в одной точке а. Пусть эта точка двинулась в направлении l вследствие сообщённого ей внешнего толчка. Найдём изменение энергии среды в рассматриваемом случае. По сделанному замечанию имеем:

S „ лЛ

( изменяется от U до -^ ) существуют, очевидно, две

Отсюда заключаем, что при движении массы т_г, сосредоточенной в одной точке, когда пет других масс, энергия среды остаётся неизменной, т. е. масса т_г не отдает живой силы своего движения среде и не приобретает. Неизменность энергии среды при движении массы 7П] в указанных условиях есть только иное выражение закона инерции. Мы получим, очевидно, тот же результат и в случае произвольного числа масс, обладающих движением, при котором их относительные положения не изменяются. Рассмотрим теперь случай, когда взаимодействующие тела описывают произвольные пути. Мы находим по выражению (117'l:

<3ти выражения дают нам величины скоростей /_с, l_u, L, так как величина Э известна. Руководствуясь соображениями, изложенными в § 11, соотношения (133) должны быть поставлены исходными пунктами при изыскании форм частичных движений промежуточных сред. Я представлю выражения (133) в несколько ином виде. В правых частях выражений (133) производная

ay -. от -дy- берется постольку, поскольку время t входит

представляет скорость по направлению ds, с которой перемещается точка пересечения поверхностей p, pj, p₂ в пространстве при изменении относительного положения взаимодействующих тел. Эту скорость не должно смешивать со скоростью энергий в направлении нормали ds к поверхности p в той же точке. Означим через E

величину hs или ~; выражения (133) примут вид:

Означим через s, s₁, s₂ скорости движения энергии по направлениям элементов нормалей ds, ds_lt ds_z к поверхностям p, р₃, р₂.

Соотношение (95), представленное в ортогональных координатах, будет:

Выражение (132), преобразованное в ортогональные коор-

Вторая часть получается из известного преобразования в ортогональные координаты дифференциального параметра второго порядка.

§ 16. Закон энергии для взаимодействия двух элементов тока. При выводе закона энергии в данном случае я употреблю метод, обратный употреблённому в предыдущих параграфах. Полученный результат будет служить оправданием нашего способа. Я предположу, что и в данном случае мы имеем соотношение (118), т. о.

Здесь с постоянное, h есть сила, с которой действуют два элемента тока ds₁ и ds₂, центры коих лежат в точках а и 5, на северный магнитный полюс с количеством магнетизма, равным единице, лежащий в точке промежуточной среды, для которой берётся величина Э. Означая через a_lt Яj, yi, ^аа> р2 ^и ?2 углы элементов ds_l и ds_z с осями координат, величины слагающих сил, с которыми эти элементы действуют на магнитный полюс, помещённый в какой-нибудь точке среды, будут:

Величины z'j, г.” суть напряжения токов, протекающих через элементы, в электромагнитных единицах; х₁ ,у_г, z_b х-и У ч' ^zz — координаты точек а и 6, с которыми совпадают центры элементов ds_lt й.?₂; х, у, z — координаты какой-нибудь точки среды, г₁ и г₂ — её расстояния от точек а и Ъ.

Составляя по выражениям (139) и (140) величину /г², умножая её па элемент объёма и интегрируя на всю промежуточную среду, т. е. на всё пространство, лежащее между бесконечно отдалённой сферой и бесконечно малыми сферами, окружающими элементы ds^ и c?s₂, мы должны получить, если наше предположение справедливо, величину энергии среды, т. е. 11 + const., где Л есть потенциал элементов ds-^ и ds₂ друг на друга.

Для простоты примем за ось х линию, соединяющую оба элемента ds_lr ds₂, и середину этой линии — за начало

координат. Тогда у_г = Zi = г/₂ "— ^zz = 0, и пусть х^= — ^ ,

Легко видеть, что члены, входящие в тройной интеграл, представляющий величину ll-f-const., и содержащие одну из координат в нечётной степени, будут попарно уничтожаться. Нам остаётся поэтому рассмотреть выражение

Величина К поставлена на место тех членов, которые содержат координаты одного только из элементов ds_lt ds_z и, следовательно, по интеграции дадут величину постоянную. Форма этих членов для нас тте существенна, так как оправдание нашего способа мы можем найти только в результате, который получится для величины 1J, представляющей часть энергии среды, зависящую от положения обоих элементов.

Означая через (а$ц ds₂) угол между обоими элементами dsi, ds₂, мы находим, рассматривая только члены, зависящие от относительного положения элементов ds_t и ds₉, т. с. вычитая из (141) величину

1) меридиональные плоскости, проходящие через 'ось X; параметр p этих плоскостей изменяется от 0 до 2;

2) поверхности вращения, дающие в пересечении с меридиональными плоскостями круги, проходящие через точки а и 6. Уравнение этих кругов будет:

Здесь p = I/ г/² + z², и v есть параметр кругов, изменяющийся от 0 до тс;

3) поверхности вращения, дающие в меридиональных плоскостях круги, проходящие через две мнимые точки, лежащие на оси X, на расстояниях от начала координат, равных

Уравнение этих кругов будет:

Здесь и есть параметр этих кругов, изменяющийся от—со до+оо; th, sh, ch суть гиперболические тангенсы, синусы ц косинусы.

Уравнения для перехода от прямоугольных координат х, у, z к введённым суть следующие:

Кроме того, элемент объёма будет:

Выражая подпнтегральные функции тройных интегралов выражения (144) в криволинейных координата?;, мы видим, что числители подинтегральных функций будут содержать постоянный фактор R⁵, а знаменатели — R^s, где R есть расстояние точек а и Ъ. Следовательно, за знаки тройных интегралов может быть вынесен по-

стоянный фактор -jt . Под знаками же интегралов будут стоять выражения, зависящие исключительно от и, v, Ф. Тройные интегралы не будут, следовательно, зависеть от положения элементов, а только от пределов. Означая через X и v- две постоянные и замечая, что

Это выражение для потенциала двух элементов тока друг на друга отличается от потенциала Гельмгольца только постоянными факторами, что и служит оправданием справедливости предположения (138).

если известен закон взаимодействия на расстояниях конечных между однородными деятелями природы к, а_г с третьим, однородным или разнородным с ними деятелем Я, то выражение потенциальной, энергии для взаимодействия деятелей а и a_t друг на друга будет:

где а есть постоянный фактор и X_a$X_ai$ и пр. представляют слагающие сил, с которыми деятели а и а,₁ действуют па деятелей Я_:, которыми мысленно непрерывно наполняется пространство, окружающее деятелей о: и а_х. Тройной интеграл распространяется па всё пространство, лежащее между поверхностью

бесконечно большой сферы и двумя другими поверхностями, бесконечно близко облегающими деятелей и и а,₁.

Пусть силы, с которыми однородные деятели a, Xj Действуют на Я, представляются однородными функциями ти-й степени от координат, причём коэффициенты, входящие в функцию, .могут зависеть от различных условий, определяемых самим характером деятелей. В данном случае произведения Х^Ха.^ и пр. будут однородными функциями 2т-й степени. Выражая прямоугольные координаты в криволинейных, употреблённых уже нами в § 16, мы вынесем за знак тройного интеграла выражения (155) величину R^2m+³, где R есть расстояние между деятелями а и а_ь которые предполагаются занимающими бесконечно малые объёмы. Означая через M некоторое постоянное, мы получим,

Если деятель Я однороден с а и а-,, то степень т однородных функций, представляющих силы, с которыми а и а₁ действует на Я, должна быть одинакова со степенью расстояния R в предыдущем выражении, представляющем силу, с которой а и а_г действуют друг на друга, т. е.

Если а и ”л попрежнему суть деятели однородные, a Я — с ними разнородный деятель, то, по только что доказанному, степень величины R в выражении (153) должна равняться —2, т. е.