Такие чудесные приобретения в немалом количестве рассыпаны по страницам "Новых методов" щедрой рукой их создателя. И почти каждое из них столь же самостоятельно и автономно, как одна звезда по отношению к другой. Едва появившись на свет, они тут же проникают в другие точные науки и начинают вести независимую, порой весьма активную жизнь. Одна из теорем, сформулированных Пуанкаре для небесномеханичоских систем, оказалась вдруг на самом острие дискуссии, разгоревшейся между двумя известными учеными по поводу термодинамической необратимости.
Исследуя задачу трех тел, Пуанкаре пришел к весьма важному утверждению о том, что система из материальных точек, обладающих массами и движущихся по за-юнам механики, через некоторое время обязательно должна вернуться в состояние, весьма близкое к перво-, бальному. Сам Пуанкаре использовал эту "теорему возвращения" при изучении стабильности солнечной системы. Но теорема оказалась на редкость универсальной. "На положила начало нынешнему учению о взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях множеств, инвариантных относительно меры. Эта же теорема лежит у истоков современных подходов к оргодиче-ской теории. Первый выход ее за пределы небесной механики состоялся еще в 1896 году. Эрнст Цермело, молодой ассистент видного немецкого ученого Макса Планка, применил "теорему возвращения" к совокупности свободно движущихся молекул или атомов. Получалось, что протекающие в такой системе процессы обратимы. Если, например, два различных газа смешиваются после удаления разделяющей их перегородки, то можно дождаться такого момента, когда они сами собой разделятся, вернутся к исходному состоянию. Это явно противоречило утверждаемой вторым началом термодинамики необратимости всех процессов.
В спор с Цермело вступил хорошо известный уже физик Людвиг Больцман, против которого и были направлены критические стрелы немецкого ученого. Атаки с обеих сторон велись весьма темпераментно. Больцман настолько непримиримо отнесся к рассуждениям Цермело, что в полемическом задоре посоветовал ему даже не вмешиваться в дела статистической механики. Ожесточенная дискуссия вокруг "парадокса обратимости" продолжалась не один год. По мнению Больцмана, теорема Пуанкаре полностью согласовывалась с его научными положениями. Он утверждал, что для систем, состоящих из огромного числа частиц, время возврата в начальное состояние, которое является весьма маловероятным, должно быть астрономически большим. Это и означает, что, несмотря на "теорему возвращения", практически осуществляются лишь необратимые процессы как наиболее вероятные. Для смеси двух газов период, в течение которого могло бы произойти их самопроизвольное разделение, настолько велик, что никому не удается наблюдать такое необычное явление. В полемике с противником Больцман проявил весь свой сарказм, задевая порой даже Планка, стоявшего на стороне своего ученика. В результате между участвовавшими в дискуссии учеными сложились далеко не дружественные отношения, которые проявлялись и много лет спустя.
Если "теорема возвращения" породила в ученой среде неуемную вспышку страстей, то другая теорема Пуанкаре, наоборот, погасила тот азарт, который в течение двух веков сопутствовал одной проблеме небесной механики. Целых два столетия математики и механики, словно средневековые алхимики в погоне за философским камнем, вели неустанные поиски "первых интегралов" небесномеханических задач. Заманчивы были эти матема тические образования, построенные на основе известных занонов сохранения. Согласно одному закону сохранения, если на механическую систему не действуют извне никакие силы, то центр масс ее либо остается неподвижным, либо же движется по прямой с постоянной скоростью. Так, если считать, что на Солнце и планеты не действует притяжение со стороны звезд, то центр масс солнечной системы перемещается равномерно и прямолинейно в направлении созвездия Геркулеса со скоростью 20 километров в секунду. Поскольку движение происходит в трехмерном пространстве, то можно записать шесть предельно простых математических соотношений для составляющих скорости центра масс по трем направлениям (они либо равны нулю, либо постоянны) и для трех его пространственных координат, указывающих положение этой точки. Такие соотношения между координатами и скоростями, которые, подобно "интегральным инвариантам", остаются постоянными при движении механической системы, получили название "первых интегралов". Закон сохранения момента количества движения системы дает три дополнительных "первых интеграла". И наконец, запись третьего закона сохранения - закона сохранения энергии - представляет собой еще один "первый интеграл".
"Первые интегралы" поставляли ученым уже готовые соотношения между координатами и скоростями, полученные без интегрирования дифференциальных уравнений движения. Этот обходный маневр решения задач динамики был известен давно. Лаплас в своем "Трактате" описывает и применяет все "первые интегралы" механических систем, а в XIX веке им присваивают уже почетно-возрастной титул "классические". Несмотря на общепринятое для них название, эти выражения в отличие от "иптегральных инвариантов" не содержат никаких интегралов и представляются чисто алгебраическими соотношениями, которые оказывают неоценимую помощь при исследовании различных задач механики. К сожалению, их было только десять. А для полного решения задачи трех тел, например, требовалось восемнадцать "первых интегралов". Поэтому не прекращались упорные поиски недостающих "первых интегралов", которые вместе с "классическими" позволили бы получать окончательные результаты для основных задач небесной механики, минуя все неприятности, связанные с интегрированием Дифференциальных уравнений. Но каждый раз, как ученые узнавали об открытии нового математического соотношения, сохраняющего постоянное значение при движении системы, рано или поздно обнаруживалось, что оно является комбинацией уже известных "первых интегралов" и не несет никаких новых возможностей. "Первые интегралы" небесной механики уподобились великим загадкам математики - квадратуре круга, трисекции угла и другим, над решением которых тщетно билось не одно поколение ученых. Не видно было конца этой бесплодной трате усилий.
Первый предостерегающий сигнал прозвучал в 1887 году, когда немецкий астроном и математик Г. Брунс строго доказал, что всякий новый "первый интеграл" задачи трех тел, выражаемый алгебраическим соотношением, непременно будет представлять собою некоторую комбинацию старых, "классических" интегралов. Теорема Брупса заставляла задуматься. Десять известных "первых интегралов" алгебраического типа исчерпывали собою все алгебраические соотношения, обладающие нужными свойствами. Естественно было теперь обратиться к поискам среди более сложных математических выражений - трансцендентных. Ведь ни одного трансцендентного "первого интеграла" еще не обнаружили. Поэтому, открыв такой "интеграл", можно быть твердо уверенным, что он действительно новый, поскольку из алгебраических "интегралов" его никак не составишь. Не относятся ли все недостающие "первые интегралы" к трансцендентным? Вопрос этот волновал теперь многих, в том числе Пуанкаре. Он начинает свое исследо-рание проблемы и через некоторое время приходит к более общему утверждению о том, что уравнения движения задачи трех тел не допускают не только алгебраических, но и трансцендентных "первых интегралов", отличных от "классических". Это доказательство изложено в пятой главе первого тома "Новых методов", которая так и называется: "Несуществование однозначных интегралов". После такого усиления новая теорема небесной механики положила конец всяким поискам недостающих "первых интегралов". Сейчас этот фундаментальный результат известен под именем теоремы Брунса - Пуанкаре1.
Вклад, внесенный Пуанкаре в небесную механику, был столь значительным, а его исследования, суммированные в трехтомном труде, оказались столь выдающим- ся событием в этой науке, что, когда внезапно умер Ф. Тиссеран, возглавлявший кафедру небесной механики Парижского университета, ни у кого не возникло сомнений в том, кто должен стать его преемником. Декан факультета наук Г. Дарбу официально предлагает Пуанкаре занять вакантное место. И вот он оставляет кафедру математической физики и теории вероятностей, которой руководил уже десять лет, и утверждается единогласным решением факультетского совета в новой должности. С осени 1896 года профессор А. Пуанкаре ведет ужо курсы по некоторым традиционным разделам небесной механики. Три тома этих лекций будут изданы в период с 1905 по 1910 год. Затем будут опубликованы прочитанные им лекционные курсы "О фигурах равновесия жидких масс" и "О космогонических гипотезах". Своей преподавательской и научной деятельностью он охватил все основные направления, в которых развивалась небесная механика и теоретическая астрономия с начала XX века до настоящего времени: аналитические методы небесной механики, качественные методы небесной механики и теория фигур небесных тел.
В 1900 году последовало второе после премии короля Оскара публичное признание за рубежом несомненных заслуг Пуанкаре в этих науках. Джордж Дарвин, второй сын знаменитого естествоиспытателя Чарлза Дарвина, возглавлявший в Кембриджском университете ньютоновскую кафедру, вручает ему золотую медаль Лондонского королевского астрономического общества. Но именно после этого, с начала XX века, его фундаментальный труд по небесной механике начинает играть наиболее активную роль в мировой науке. Причем значение его со временем только возрастало по мере того, как открывались все новые плодотворные возможности созданных Пуанкаре методов. Не покрылись пылью эти методы и сейчас, несмотря на более чем полувековой срок, прошедший с момента их рождения. По-прежнему они все так же новы и необходимы, как и в начале века. Правда, мечта Пуанкаре довести качественную теорию дифференциальных уравнений до того уровня, ког-Да она позволит решать основные космогонические проблемы, так и осталась неосуществленной.
1
В 1898 году французский математик П. Пенлеве обобщил эту теорему уже в другом направлении - распространил ее действие на задачу произвольного числа тел.