Attenenti alia

GALILEO GALILEI LINСEO,

Filosofoe Matematico primario del Sereniffimo Grand Ducadi Toscana.

ОТРАСЛЕЙ НАУКИ

С и м п л. Действительно, я начинаю сознавать, что логика, представляющая прекрасное средство для правильного построения наших рассуждений, недостаточна для того, чтобы направить мысль к изобретательности и дать ей ту остроту, какую придает ей геометрия.

Сагр. Мне кажется, что логика учит нас познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых уже рассуждений и доказательств; но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства-этому я не верю. Но, пожалуй, теперь лучше всего будет, если синьор Сальвиати покажет нам, в какой мере увеличиваются моменты сил, необходимых для того, чтобы преодолеть сопротивление одного и того же тела в зависимости от места расположения опоры.

С а л ь в. Искомые отношения могут быть найдены еде дующим образом:

если по длине какого-либо цилиндра наметить две точки, в которых мы желаем сломать этот цилиндр, то сопротивления излому в э^тих точках будут иметь между собой то же, но обратно взятое отношение, что и прямоугольники, построенные на расстояниях ртих точек от концов цилиндра.

Пусть А и В наименьшие силы, необходимые для того, чтобы сломать цилиндр в точке С, а Е и F

также наименьшие силы, которые могут вызвать излом в точке D. Утверждаю, что силы А и В относятся к силам Е и Г, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ. Так как отношение сил А и В к силам Е и F равно составному отношению сил А и В к силе В, силы В-к силе F и силы F-к F и Е, и так как отношение сил А и В к В равно отношению длины ВА к АС, отношение силы В к F равно отношению линий DB и ВС, а отношение силы F к F и Е равно отношению линий DA и АВ, то, следовательно, отношение сил А и В к F и Е явля|ется составным из трех, именно: отношений прямых ВА и AC, DB и ВС и DA к АВ. Но из двух отношений DA к АВ и АВ к

АС слагается отношение DA к АС; следовательно, отношение сил А и В кЕ

Д е ^*^р и F равно составному отношению DA к АС и DB к ВС. Но отношение прямоугольников ADB и АСВ также равно сложному отношению DA к АС и DB к ВС; следовательно, силы А и В относятся к силам Е и F, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ; иными словами, сопротивление излому в точке С относится к такому же сопротивлению в точке D, как прямоугольник ADB к прямоугольнику АСВ, что нам и нужно было доказать⁴².

На основании этой теоремы мы можем теперь разрешить одну довольно интересную задачу:

 Дан наибольший груз, который могут выдержать призма или цилиндр в середине, т. е. там, где сопротивление излому всего меньше, и дан другой, больший груз; требуется найти такую точку, для которой этот новый груз представлялся бы также наибольшим.

Положим, что мы имеем груз, превышающий тот наибольший груз, который может быть выдержан при помещении его в середине цилиндра АВ, и пусть Этот первый груз так относится к последнему, как линия Е к линии F. Требуется найти такую точку цилиндра, для которой данный груз является наибольшим. Пусть средней пропорциональной между линиями Е и F будет G и пусть отношение Е к G будет_в"равно отношению AD к S; очевидно, что S будет меньше AD. Построим на линии AD, как на диаметре, полукруг AHD, отложим хорду АН, равную S, проведем прямую HD и отложим на ную этой линии часть. DR. Утверждаю, что R и есть та искомая точка, для которой данный груз, превышающий наибольший груз, могущий быть удержанным при помещении его в D, т. е. средине цилиндра, является максимальным. Построим на длине цилиндра

ВА как на диаметре полукруг ANB, восставим из точки R перпендикуляр RN и проведем прямую ND. Так как сумма квадратов NR и RD равна квадрату ND, т. е. квадрату AD или сумме квадратов АН и HD, а квадрат HD равен квадрату DR, то, следовательно, квадрат NR, равный прямоугольнику ARB, будет равняться квадрату АН, т. е. квадрату S. Но квадрат S относится к квадрату AD, как F к Е или как наибольший груэ для средней точки D к данному нам большему грузу; следовательно, этот больший груз - является для точки R максимальным, какой она только может выдержать; а это мы и хотели найти⁴³.

Сагр. Прекрасно понимаю и замечу следующее: так как призма АВ становится все прочнее и выносливее по отношению к нагрузке по мере удаления последней от середины, то у больших и тяжелых балок можно снять немалую часть материала ближе к концам, облегчив значительно их вес, что при перекрытии больших пространств могло бы иметь большое значение и принести немалую пользу. Интересно было бы найти, какую форму должно иметь такое твердое тело, которое во всех своих частях обладало бы одинаковым сопротивлением так, чтобы переломить его грузом, приложенным в середине, было бы не легче, чем приложенным в любом другом месте.

С а л ь в. Я только что собирался сообщить вам по Этому вопросу нечто весьма существенное и важное по своим последствиям. Для большей наглядности я нарисую вам чертеж- Пусть DB будет призма, у кото рой сопротивление конца AD излому под действием силы, приложенной к концу В, будет во столько раз меньше сопротивления в сечении CI, во сколько раз длина СВ меньше длины ВА_; как это уже было доказано.

 

Представим себе теперь эту призму 2)ассечен-ной диагональной плоскостью вдоль линии ГВ так, что боковые грани повой призмы будут представлять собою треугольники, одним из коих, обращенным к нам, является треугольник ГАВ. Мы получим теперь тело, которое в противоположность первой призме легче сломается в месте С, нежели в месте А под действием силы, приложенной на конце В, и притом во столько раз легче, во сколько длина СВ меньше длины ВА. Э^т0 очень легко доказать. Так как поперечное сечение CNO па-раллельно AFD, то ли-ния AF треугольника FAB имеет такое же отношение к линии CN, как линия АВ к ВС; представим себе теперь, что А и С являются точками опоры двух рычагов, плечи которых ВА, AF и ВС, CN пропорциональны; благодаря этому момент силы, приложенной в В к плечу ВА, сравниваемый с сопротивлением AF, будет равен моменту той же силы, приложенной к плечу ВС, сравниваемому с сопротивлением CN; однако сопротивление тела излому в CN над точкою опоры С под действием силы, приложенной в В, будет меньше сопротивления над точкою опоры А во столько раз, во сколько прямоугольник СО меньше прямоугольника AD, т. е. во сколько раз линия CN менее линии AF или СВ менее ВА. Следовательно, сопротивление части ОСВ излому в С во столько раз меньше сопротивления всего тела DAB излому в А, во сколько раз длина СВ меньше длины АВ. Итак, мы имеем целую балку или призму DB; если мы разрежем ее по диагонали, отнимем верхнюю ее половину и оставим лишь нижнюю часть, то будем иметь треугольную призму FBA; эти два тела имеют противоположные свойства: у первого сопротивление растет по мере приближения к свободному концу, тогда как у второго при приближении к тому же концу прочность теряется ⁴⁴. После того как мы установили это положение, становится ясным, что можнв провести сечение, при котором по удалении излишков останется тело такой формы, что во всех своих частях оно будет одинаково прочным.

Симпл. Это совершенно ясно, так как при переходе от большего к меньшему мы должны встретить равное, лежащее между ними.

С а г р. Да, но весь вопрос заключается в том, как надо направлять пилу, чтобы получить требуемое сечение.

С и м п л. Мне представляется, что сделать это довольно легко. Если, отнимая половину призмы при диагональном сечении, мы получаем остающееся тело, обладающее свойствами, противоположными свойствам целой призмы, так что во всех тех точках, в которых прочность последней увеличивается, прочность первой уменьшается, то я полагаю, что, следуя средним путем, т. е. отнимая только половину половины, что составит четверть всей призмы, мы получим в остатке тело, прочность которого не будет ни увеличиваться ни уменьшаться во всех тех точках, в которых увеличение и уменьшение прочности двух первых тел было постоянно одинаковым.

С а л ь в. Вы не угадали, синьор Симпличио. Я покажу вам и вы убедитесь, что та часть, которую мы можем отсечь и отнять от призмы, не уменьшая ее прочности, составляет не четверть, а треть ее. Нам надо (как уже заметил синьор Сагредо) найти линию, по которой должно быть сделано сечение: я докажу, что линией этой является парабола. Но предварительно необходимо будет доказать лемму, заключающуюся в следующем:

если даны два коромысла весов или рычага, разделенные точками опоры таким образом, что длины плеч, на которые действуют силы, относятся между собою, как квадраты плеч, на которые действуют сопротивления, и если сопротивления относятся друг к другу, как эти плечи, то силы, преодолевающие сопротивления, равны между собою.

Пусть даны два рычага. АВ и CD, разделенные точками опоры Е и F таким образом, что плечи ЕВ и FD относятся, как квадрат ЕА к квадрату FC,

и предположим, что отношение сопротивлений в А и С равно отношению линий ЕА и FC. Утверждаю, что силы, приложенные в В и D и преодолевающие сопротивления в А и С, равны между собою. Отложим EG-среднюю пропорциональную между ЕВ и FD; тогда отношение BE к EG будет равно отношению GE к FD или АЕ к CF; так же относятся друг к другу по условию и сопротивления в точках А и С. Так как, кроме того, EG относится к FD, как АЕ к CF, то отношение GE к АЕ равно отношению FD к FC.

Далее, оба рычага DC и GA разделены в точках F и Е пропорционально, почему сила, приложенная в D и преодолевающая сопротивление в точке С, будучи перенесена в точку G, сможет преодолеть то же по величине сопротивление С, перенесенное в точку А. Но по условию сопротивления в А и С относятся друг к другу, как расстояния АЕ и CF или как BE и EG; следовательно, сила G или, лучше сказать, сила D, приложенная в В, преодолеет сопротивление в точке А, что и требовалось доказать *⁵.

Доказав это положение, начертим на боковой грани FB призмы DB параболическую линию FNB с вершиною в точке В и рассечем в соответствии с ее _кривизною призму таким образом, чтобы остающаяся часть была ограничена основанием AD, площадью прямоугольника AG, прямой линией BG и поверхностью DGBF, кривизна которой соответствовала бы кривизне начерченной параболы FNB. Утверждаю, что такое тело будет обладать во всех частях одинаковым сопротивлением. Рассечем тело плоскостью СО, параллельной AD, и представим себе два рычага с точками опоры в А и С, так что плечами первого из них будут ВА и AF, а второго-ВС и CN. Так как у параболы FBA отношение АВ к _ ВС равно отношению квадрата FA к квадрату CN, то ясно, что длина плеча ВА одного рычага относится к длине ВС плеча другого рычага, как квадрат другого плеча FA к квадрату плеча CN. Поэтому сопротивление, преодолеваемое рычагом ВА, будет относиться к сопротивлению, преодолеваемому рычагом ВС, так же, как относятся друг к другу площади прямоугольников DA и ОС, т. е. как линии AF и NC, являющиеся другими плечами рычагоз; отсюда на основании только что доказанной леммы явствует, что та же самая сила, которая, будучи приложена к линии BG, преодолевает сопротивление DA, преодолеет и сопротивление СО. То же самое можно доказать и относительно сечения в любом другом месте, из чего следует, что такое параболическое тело во всех своих частях одинаково прочно⁴⁶. То обстоятельство, что, разрезая призму по параболической линии FNB, мы отнимаем от нее третью часть, видно из следующего: половина параболы FNBA и прямоугольник ГВ суть основания двух тел, ограниченных двумя параллельными плоскостями, а именно, прямоугольниками ГВ и DG; объемы их сохраняют то же отношение, какое существует между основаниями; но прямоугольник ГВ в полтора раза больше полупараболы FNBA; поэтому, разрезая призму по параболической линии, мы отнимаем от нее третью часть. Отсюда ясно, что мы можем уменьшать вес балок на тридцать три процента, нисколько не вредя их прочности; это обстоятельство может принести большую пользу при постройке крупных судов, в особенности при укреплении палуб и покрытий, так как в сооружениях Этого рода легкость имеет огромное значение.

Сагр. Случаи, где такое открытие принесет пользу, столь многочисленны, что затруднительно и даже невозможно все их перечислить. Оставляя их, однако, в стороне, я желал бы убедиться, что уменьшение веса действительно происходит в указанной про-, порции. То, что сечение призмы по диагонали уменьшает вес ее наполовину, я прекрасно себе представляю, но то, что сечение по параболе отнимает третью часть, я могу принять лишь на веру со слов синьора Сальвиати, всегда правдивого; но и в этом отношении Знание было бы для меня предпочтительнее веры.

С а л ь в. Итак, вы желаете иметь доказательство справедливости утверждения, что часть призмы, отсекаемая до параболе, представляет собою треть веса призмы. Я однажды_: уже дал такое доказательство; попробую восстановить в памяти ход рассуждения, для которого, насколько помнится, я воспользовался следующей известной леммой Архимеда, содержащейся в его книге "О спиралях": если имеется любое число линий, превышающих одна другую по длине иа некоторую одинаковую величину, равную наименьшей из них, и такое же число линий, равных наибольшей из них, то сумма квадратов этих последних линий будет составлять менее чем утроенную сумму квадратов первых, отличающихся друг от друга по длине линий, но будет превышать более чем в три раза разность между этой суммой и квафатом наибольшей из линий⁴⁷. Приняв это положение, начертим прямоугольник АСВР и впишем в него параболическую линию АВ. Требуется доказать, что смешанный треугольник ВАР, образованный двумя сторонами прямоугольника ВР, АР и параболой ВА, составляет третью часть всего прямоугольника СР. Если это не так, то треугольник должен быть либо более третьей части, либо менее. Предположим сначала, что он меньше и что недостающая до трети часть будет равна площади X. Деля теперь прямоугольник СР последовательно на равные части линиями, параллельными сторонам ВР и СА, получим, наконец, части,

каждая из коих будет меньше площади X; предположим, что одной из таких частей будет прямоугольник ОВ; проведем через точки пересечения параболы с прочими параллельными линиями ряд линий, параллельных стороне АР; мы получим, таким образом, описанную вокруг нашего смешанного треугольника сложную фигуру, составленную из прямоугольников ВО, IN, HM, FL, ЕК и GA. Эта фигура будет также меньше третьей части прямоугольника СР, так как избыток ее площади над площадью смешанного треугольника будет значительно меньше прямоугольника ВО, который, в свою очередь, меньше площади X.

С а г р. Остановитесь, прошу вас. Я не вижу, почему избыток площади описанной фигуры над площадью треугольника будет значительно меньше площади прямоугольника ВО.

С а л ь в. Не равен ли прямоугольник ВО сумме всех прямоугольников, через которые проходит наша парабола, т. е. прямоугольников BI, Ш, HF, FE, EG и GA, частично выходящих за пределы смешанного треугольника? А пряхмоугольник ВО не меньше ли, по нашему условию, нежели площадь X? Если, таким образом, треугольник вместе с площадью X будет равен третьей части прямоугольника СР, то описанная фигура, прибавляющая к площади треугольника меньше, нежели площадь X, останется меньшею по сравнению с третьей частью' того же прямоугольника СР- Но этого не может быть, так как она составляет более трети прямоугольника; следовательно, наше предположение, что площадь смешанного треугольника меньше трети прямоугольника, неправильно.

С а г р. Вы разрешили мои сомнения. Но остается доказать, что описанная фигура составляет более трети площади прямоугольника СР, что, думается мне, не так-то легко сделать.

Сальв. Но и не так трудно. В параболе отношение квадратов линий DE и ZG равно отношению линий DA и AZ, которое одинаково с отношением прямоугольника КЕ к прямоугольнику AG (так как высоты АК и KL равны); следовательно, квадраты ED и ZG относятся между собою, как квадраты LA и АК или как прямоугольник КЕ и KZ. Совершенно таким же образом доказывается относительно других прямоугольников LF, МН, N1 и ОВ, что они относятся друг к другу, как квадраты линий MA, NA, ОА и РА. Обратим теперь внимание на то, что описанная фигура составлена из частей, отношение между которыми равно отношению квадратов линий, последовательно превышающих одна другую на величину, равную меньшей из них, и что прямоугольник СР составлен из такого же числа площадей, из коих каждая равна наибольшей части, т. е. прямоугольнику ОВ. Согласно леммы Архимеда, описанная фигура составит, таким образом, больше трети прямоугольника СР; но в то же время она была и меньше, что, очевидно, невозможно. Поэтому смешанный треугольник не может быть меньше одной трети прямоугольника СР. Утверждаю равным образом, что он и не более трети. Предположим, что он более трети и что площадь X равна излишку площади треугольника над третью площади прямоугольника СР. Производя последовательное деление всего прямоугольника на все меньшие равные между собою прямоугольники, получим, наконец, такие части, которые будут менее площади X. Предположим, что мы это сделали и получили прямоугольник ВО, который меньше X. Проведя такие же линии, как и ранее, мы получим фигуру, вписанную в смешанный треугольник и составленную из прямоугольников VO, TN, SM, RL и ОК, которая будет все же не меньше трети большего прямоугольника СР. Смешанный треугольник превосходит вписанную фигуру на меньшую величину, чем он превосходит третью часть прямоугольника СР, потому что излишек площади треугольника над третью прямоугольника СР равен площади X, которая больше прямоугольника ВО, последняя же, в свою очередь, больше излишка площади треугольника над вписанной фигурою; действительно, площадь прямоугольника ВО равняется сумме площадей прямоугольников AG, GE, EF, FH, HI и IB, а у последних лишь часть, меньшая половины, равняется излишку треугольника над вписанной фигурой. Так как треугольник превышает третью часть прямоугольника СР на величину большую (а именно, на величину X), вписанную же фигуру на величину меньшую, то эта фигура должна быть больше трети прямоугольника СР; но, по принятой нами лемме, она меньше последней, ибо прямоугольник СР, как совокупность всех наибольших прямоугольников, относится к прямоугольникам, образующим вписанную фигуру, как сумма квадратов всех наибольших линий к сумме квадратов линий, последовательно превышающих друг друга на определенную величину, за вычетом из последней квадрата наибольшей линии. Далее, вся совокупность наибольших прямоугольников (составляющих в сумме прямоугольник СР) превышает более чем в три раза сумму прямоугольников, последовательно увеличивающихся и составляющих вписанную фигуру, за вычетом из Этой суммы наибольшего прямоугольника. Следовательно, смешанный треугольник не может быть ни меньше, ни больше трети прямоугольника СР и должен быть равен ей.

Сагр. Прекрасное и остроумное доказательство, особенно ценное тем, что оно дает и квадратуру параболы, показывая, что площадь таковой равняется четырем третям вписанного треугольника, как это доказал еще Архимед двумя различными, но равно Заслуживающими удивления способами. В последнее время то же было доказано Лукою Валерио-новым Архимедом нашей эпохи; доказательство это можно найти в книге, которую он написал о центре тяжести твердых тел.

С а л ь в. Книга эта действительно замечательна и не уступает сочинениям наиболее известных геометров как современных, так и прошлого времени. Когда наш Академик познакомился с нею, то он оставил свои собственные исследования, начатые по тому же предмету, так как нашел, что все вопросы уже разрешены и доказаны чрезвычайно удачно синьором Валерио.

Сагр. Обо всем этом я был осведомлен самим Академиком. Я просил его хоть раз ознакомить меня с открытиями, которые он сделал в этой -области до Знакомства с книгою синьора Валерио, но просьба моя осталась безуспешною.

С а л ь в. У меня имеется копия его работы, и я могу познакомить вас с нею; вы сумеете оценить различие методов, которыми пользуются эти два "автора при исследовании и доказательстве одних и тех же положений; некоторые положения имеют совершенно различное толкование, оставаясь по существу одинаково верными.

Сагр. Мне очень хотелось бы видеть эту работу, и я был бы очень вам благодарен, если бы вы принесли ее с собою, когда мы снова соберемся для беседы⁴⁸. Так как, однако, сопротивление твердой призмы, ограниченной сечением, проведенным по параболе, представляется явлением не только весьма интересным, но и полезным для многих механических приспособлений, то было бы интересно дать мастерам какие-либо простые и удобные правила для того, чтобы вычерчивать на грани призмы параболическую линию.

С а л ь в. Существует много способов начертить такую линию, но я познакомлю вас только с двумя наиболее простыми. Один из них действительно изу-дштелен, так как, пользуясь им, я в меньшее время, чем то, которое требуется для вычерчивания на бумаге циркулем четырех или шести окружностей разного диаметра, могу начертить тридцать-сорок параболических линий не менее тонких, точных и правильных, чем упомянутые окружности. У меня имеется бронзовый шарик, весьма правильной формы, величиною не более ореха. Брошенный на металлическое зеркало, лежащее не совсем горизонтально, но несколько наклонно, так что при движении он может по нему катиться, производя при этом легкое давление, шарик этот оставляет след в виде тонкой и правильной параболической линии, более длинной или более короткой, смотря по степени наклона металлической плоскости. Зд^{есь мы} имеем ясный и на-тдядный опыт, показывающий, что движение брошенных тел происходит по параболическим линиям,- явление, впервые замеченное нашим другом, который дал ему и доказательство в своей книге о движении, с чем мы познакомимся в нашей следующей беседе. Шарик, вычерчивающий указанным выше образом параболы, необходимо предварительно подержать в руке и тем согреть и увлажнить его для того, чтобы он оставлял затем на металлическом зеркале ясные следы. Другой способ начертить искомую параболу на призме состоит в следующем. Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздем подвесим тонкую цепочку,
которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка ее находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном длине призмы. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив ее след на стене пунктиром, мы получим полную параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведенным через середину линии, соединяющей оба гвоздяⁱ⁹. Перенести полученную таким образом линию на боковые грани призмы не представит никаких затруднений; всякий посредственный мастер сумеет это сделать. Можно также и прямо начертить на призме параболическую линию при помощи геометрических линий, обозначенных на циркуле нашего друга.

Мы получили уже столько выводов, касающихся вопросов сопротивления твердых тел излому, причем в основание этой науки было положено сопротивление тел разрыву, что можем теперь последовательно подвигаться вперед, открывая все новые и новые соотношения, которых в природе существует бесконечное множество, и давая им доказательства. В заключение нашей сегодняшней беседы мне хотелось бы только прибавить несколько замечаний относительно сопротивления твердых тел, полых или пустых внутри, которыми как мастерство, так и природа пользуются па тысячи ладов. В них без возрастания веса достигается возрастание прочности в весьма большой степени, как то легко можно видеть на костях птиц и на тростнике, которые при большой легкости отличаются и большой сопротивляемостью изгибу и излому. Если бы соломинка, несущая колос, превышающий по весу весь стебель, была бы при том же количестве вещества сплошной и массивной, то она была бы значительно менее прочной на изгиб и на излом. Было замечено на деле и подтверждено опытом, что палка, пустая внутри, а также деревянная и металлическая труба, крепче, чем массивное тело той же длины и равного веса, которое неизбежно является более тонким. Мастерство нашло применение этому наблюдению при изготовлении копий, делаемых для достижения прочности и вместе с тем легкости пустыми внутри.

Докажем такое положение: сопротивления двух цилиндров одинакового объема и равной длины, один из которых полый, а другой массивный, относятся друг к другу, как их диаметры. "Пусть АЕ будет труба или полый цилиндр и IN массивный цилиндр, равные по весу "и по длине. Утверждаю, что сопротивление излому трубы АЕ так относится к сопротивлению сплошного цилиндра IN, как диаметр АВ к диаметру IL. Э^{т0 в} достаточной степени очевидно. Так как труба и цилиндр. IN равны по длине и по объему, то круг IL-основание цилиндра-будет равен кольцу АВ-основанию трубы АЕ (называю кольцом площадь, остающуюся за вычетом площади меньшего круга из площади большего концентричного круга); следовательно, их абсолют-. ные сопротивления будут равны. При поперечном же изгибе цилиндра IN длина его LN является одним плечом рычага, имеющим точку опоры в L, а радиус или диаметр LI- другим плечом рычага; в трубе первое плечо рычага, или BE, равно LN; но другое плечо, при точке опоры в В, равно радиусу или диаметру АВ; сопротивление трубы будет, следовательно, превышать сопротивление цилиндра в той же мере, в какой диаметр АВ превышает диаметр IL, что и требовалось доказать⁵⁰. Итак, при полой трубе мы выигрываем в прочности по сравнению со сплошным циландром пропорционально отношению их диаметров, при условии, конечно одинакового материала и равных веса и длины. Теперь уместно будет рассмотреть, что наблюдается в других случаях, когда трубы и цилиндры имеют одинаковую длину, по различаются по весу и размеру внутренней полости. Прежде всего, решим задачу: дана полая труба; найти равный ей по весу :^! сплошной цилиндр.

Задача эта чрезвычайно проста. Пусть линия АВ - диаметр трубы, a CD-диаметр отверстия. Проведем в большом круге из точки А линию АЕ, равную диаметру CD, и соединим точки Е и В. Так как в полукруге АЕВ угол Е прямой, то круг, диаметром коего является линия АВ, будет равен двум кругам с диаметрами АЕ и ЕВ. Но АЕ есть диаметр отверстия трубы; следовательно, круг диаметра ЕВ будет равен кольцу ACBD; поэтому сплошной цилиндр, основанием которого будет круг диаметра ЕВ, будет по весу равняться трубе, равной с ним длины. Доказав рто, можно легко решить следующую задачу: найти, какое отношение существует между сопротивлением излому трубы и цилиндра произвольной величины, но одинаковой длины.

Даны труба ABE и цилиндр RSM одинаковой длины; требуется найти, какое отношение существует между сопротивлением того и другого. На основании предыдущего предложения находим размеры цилиндра ILN, равного трубе по весу и длине. Пусть теперь четвертой пропорциональной к линиям IL и RS (диаметрам оснований цилиндров IN и RM) будет линия -V. Утверждаю, что сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра RM, как линия АВ к V. Так как труба АЕ равна по весу и по длине цилиндру IN, то сопротивление трубы относится к сопротивлению этого цилиндра, как линия АВ к IL; но сопротивление цилиндра IN относится к сопротивлению цилиндра RM, как куб IL к кубу RS, т. е. как линия IL к V; следовательно, ex aequali, сопротивление трубы АЕ относится к сопротивлению цилиндра RM, как линия АВ к V, что и требовалось доказать⁶*¹.

конец второго дня .